Преобразуем левую часть неравенства. Заметим, что (x2−2x−8)=(x−4)(x+2).Также, по свойству логарифма, получим:log52((x−4)(x−4)(x+2))=0,5log5((x−4)2(x+2)).Тогда неравенство примет следующий вид:0,5log5((x−4)2(x+2))⩾0,5log5(x−4)2.Таким образом, неравенство равносильно следующей системе:{(x−4)2(x+2)⩾(x−4)2,(x−4)2>0.Выполним преобразования в каждом неравенстве системы:{(x−4)2(x+2−1)⩾0,x−4=0.⇔{(x−4)2(x+1)⩾0,x=4.С помощью метода интервалов решим первое неравенство системы:
Пересекая полученный промежуток с x=4, получим:x∈[−1;4)∪(4;+∞).Ответ: x∈[−1;4)∪(4;+∞).
