Вадим владеет двумя заводами в разных городах. За t2 часов изготавливается t товаров. Рабочие первого завода получают 200 рублей в час, рабочие второго -- 300 рублей в час. Недельный бюджет Вадима на оплату труда рабочих -- 1200000 рублей. Какое максимальное количество товаров смогут произвести оба завода за одну неделю?
Решение
Пусть на первом заводе рабочие работали x2 часов, тогда они произвели x товара и заработали 200x2 рублей. Аналогично, на втором заводе рабочие, работая y2 часов, произвели y товаров и заработали 300y2 рублей. Таким образом, необходимо найти такие значения xиy, чтобы значение выражения Q=x+y было максимальным при условии, что недельный бюджет будет равен 200x2+300y2=1200000.
Получаем систему, которая должна иметь решения:
{200x2+300y2=1200000,x+y=T. Выразим x=T−y и подставим в первое уравнение:
200(T−y)2+300y2=1200000;2(T−y)2+3y2=12000;2(T2−2Ty+y2)+3y2=12000;5y2−4Ty+2T2−12000=0. Полученное уравнение должно иметь решения, значит
D=16T2−40T2+240000=240000−24T2=24(10000−T2)=24(100−T)(100+T)⩾0. Решая полученное неравенство методом интервалов, получим
Следовательно, наибольшее возможное значение T=100. Тогда
5y2−400y+8000=0;y2−80y+1600=0;(y−40)2=0;y=40⇒x=60. Ответ: 40 и 60.
