Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача на моделированиеДосрок 2024

Вадим владеет двумя заводами в разных городах. За

t^2

часов изготавливается

t

товаров. Рабочие первого завода получают

200

рублей в час, рабочие второго —

300

рублей в час. Недельный бюджет Вадима на оплату труда рабочих —

1200000

рублей. Какое максимальное количество товаров смогут произвести оба завода за одну неделю?

Решение

Пусть на первом заводе рабочие работали

x^2

часов, тогда они произвели

x

товара и заработали

200x^2

рублей. Аналогично, на втором заводе рабочие, работая

y^2

часов, произвели

y

товаров и заработали

300y^2

рублей. Таким образом, необходимо найти такие значения

x~и~y

, чтобы значение выражения

Q=x+y

было максимальным при условии, что недельный бюджет будет равен

{200x^2+300y^2 = 1200000}

.

Получаем систему, которая должна иметь решения:

\begin{cases} 200x^2+300y^2 = 1200000, \\ x+y =T.\end{cases}

Выразим

x = T -y

и подставим в первое уравнение:

200(T-y)^2+300y^2 = 1200000;

2(T-y)^2+3y^2=12000;

2(T^2-2Ty+y^2)+3y^2=12000;

5y^2-4Ty+2T^2-12000=0.

Полученное уравнение должно иметь решения, значит

D = 16T^2 - 40T^2+240000=240000-24T^2=24(10000-T^2) = 24(100-T)(100+T) \geqslant 0.

Решая полученное неравенство методом интервалов, получим

Следовательно, наибольшее возможное значение

T=100

. Тогда

5y^2 -400y+8000=0;

y^2-80y + 1600 =0;

(y-40)^2=0;

y = 40 \Rightarrow x = 60.

Ответ:

40

60

Похожие задачи