Постройте график функции y=−x2−3x+4∣x+2∣−2. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+2=0⇒x=−2.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−2. Получаем y=−x2−7x−10.
Случай 2: x⩾−2. Получаем y=−x2+x+6.
Таким образом: y={−x2−7x−10,−x2+x+6,x<−2,x⩾−2. Вершина левой ветви: (−3,5;2,25), вершина правой ветви: (0,5;6,25). Таблица значений для левой ветви:
x:−4,−3,−2 y:2,2,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−2,−1,0,1 y:0,4,6,6
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{2,25}.
