Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=4|x+2|-x^{2}-3x-2.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+2=0 \Rightarrow x=-2

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<-2

, тогда

|x+2|=-(x+2)

.
Получаем

y=- x^{2} - 7 x - 10

.

Случай

2

x\geqslant -2

, тогда

|x+2|=x+2

.
Получаем

y=- x^{2} + x + 6

.

Таким образом:

y=\begin{cases}- x^{2} - 7 x - 10, & x<-2,\\- x^{2} + x + 6, & x\geqslant -2.\end{cases}

В граничной точке

x=-2

проверим значения обеих формул:

y_1(-2)=- (-2)^{2} - 7\cdot (-2) - 10=0,\qquad y_2(-2)=- (-2)^{2} + (-2) + 6=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(-2; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} - 7 x - 10

имеем

a=-1

b=-7

c=-10

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-7}{2\cdot(-1)}=-3{,}5.

y_0=-1\cdot(-3{,}5)^2-7\cdot(-3{,}5)-10=2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-3{,}5; 2{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} + x + 6

имеем

a=-1

b=1

c=6

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot(-1)}=0{,}5.

y_0=-1\cdot(0{,}5)^2+1\cdot(0{,}5)+6=6{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0{,}5; 6{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{2{,}25\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи