В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AB в точке P. Точка M --- середина стороны AB.
а) Докажите, что MP=2∣BC−AC∣. б) Найдите углы треугольника ABC, если известно, что отрезок MP равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC,BC>AC и отрезки MC и MA равны.
Решение
\item Обозначим через K и L точки касания вписанной окружности со сторонами AC и BC соответственно.
По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:AP=AK,BP=BL,CK=CL.ПустьAP=AK=2a,BP=BL=2b,CK=CL=2c.ТогдаAB=2a+2b,а так как M --- середина стороны AB, тоAM=MB=2AB=a+b.Теперь рассмотрим расстояние MP. Возможны два случая взаимного расположения точек M и P на стороне AB.
Если точка M расположена правее точки P, тоMP=AM−AP=(a+b)−2a=b−a.
Если точка M расположена левее точки P, тоMP=AP−AM=2a−(a+b)=a−b.В обоих случаяхMP=∣b−a∣.С другой стороны,AC=AK+CK=2a+2c,BC=BL+CL=2b+2c.Следовательно,2∣BC−AC∣=2∣(2b+2c)−(2a+2c)∣=2∣2b−2a∣=∣b−a∣.Значит,MP=2∣BC−AC∣.Что и требовалось доказать.
б) По условиюMC=MA.Так как M --- середина стороны AB, тоMA=MB.Следовательно,MA=MB=MC.Значит, точка M равноудалена от вершин A,B,C, то есть является центром описанной окружности треугольника ABC.
Так как точка M лежит на стороне AB, то отрезок AB является диаметром описанной окружности. Следовательно,∠C=90∘.Обозначим радиус вписанной окружности через R. Так как ∠C=90∘, то стороны BC и CA перпендикулярны. Радиусы, проведённые в точки касания, также перпендикулярны соответствующим сторонам, поэтому четырёхугольник, образованный вершиной C, центром вписанной окружности и точками L и K, является квадратом со стороной R.
Значит,CL=CK=R.Так как BC>AC, то в рассматриваемом случае точка P лежит между точками A и M.
ПустьBL=x.Тогда по свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки,BP=BL=x.По условиюMP=2R.ПоэтомуBM=BP−MP=x−2R.Но M --- середина стороны AB, значит,AM=BM=x−2R.Так как точка P лежит между A и M, тоAP=AM−MP=(x−2R)−2R=x−R.По свойству касательных, проведённых к окружности из точки A,AK=AP=x−R.Теперь выразим стороны треугольника:AC=AK+KC=(x−R)+R=x,BC=BL+LC=x+R,AB=AM+MB=(x−2R)+(x−2R)=2x−R.Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме ПифагораAC2+BC2=AB2.Подставим найденные выражения:x2+(x+R)2=(2x−R)2.Раскроем скобки:x2+x2+2xR+R2=4x2−4xR+R2,2x2+2xR=4x2−4xR,2x2−6xR=0,2x(x−3R)=0.Так как x>0, тоx=3R.ТогдаAC=x=3R,BC=x+R=4R,AB=2x−R=5R.Следовательно, треугольник ABC имеет стороны 3R,4R,5R.
Тогдаsin∠B=ABAC=5R3R=53.Значит,∠B=arcsin53.Так как ∠C=90∘, то∠A=90∘−arcsin53.Итак,∠A=90∘−arcsin53,∠B=arcsin53,∠C=90∘.Ответ: ∠A=90∘−arcsin53,∠B=arcsin53,∠C=90∘.
