Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2022 (досрок)

В треугольник

ABC

вписана окружность, которая касается стороны

AB

в точке

P

. Точка

M

— середина стороны

AB

.

а) Докажите, что

MP=\dfrac{|BC-AC|}{2}

.

б) Найдите углы треугольника

ABC

, если известно, что отрезок

MP

равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник

ABC

BC>AC

и отрезки

MC

MA

равны.

Решение

\item Обозначим через

K

L

точки касания вписанной окружности со сторонами

AC

BC

соответственно.

По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

AP=AK,\qquad BP=BL,\qquad CK=CL.

Пусть

AP=AK=2a,\qquad BP=BL=2b,\qquad CK=CL=2c.

Тогда

AB=2a+2b,

а так как

M

— середина стороны

AB

, то

AM=MB=\dfrac{AB}{2}=a+b.

Теперь рассмотрим расстояние

MP

. Возможны два случая взаимного расположения точек

M

P

на стороне

AB

Если точка

M

расположена правее точки

P

, то

MP=AM-AP=(a+b)-2a=b-a.

Если точка

M

расположена левее точки

P

, то

MP=AP-AM=2a-(a+b)=a-b.

В обоих случаях

MP=|b-a|.

С другой стороны,

AC=AK+CK=2a+2c,

BC=BL+CL=2b+2c.

Следовательно,

\dfrac{|BC-AC|}{2}=\dfrac{|(2b+2c)-(2a+2c)|}{2}=\dfrac{|2b-2a|}{2}=|b-a|.

Значит,

MP=\dfrac{|BC-AC|}{2}.

Что и требовалось доказать.

б) По условию

MC=MA.

Так как

M

— середина стороны

AB

, то

MA=MB.

Следовательно,

MA=MB=MC.

Значит, точка

M

равноудалена от вершин

A

B

C

, то есть является центром описанной окружности треугольника

ABC

.

Так как точка

M

лежит на стороне

AB

, то отрезок

AB

является диаметром описанной окружности. Следовательно,

\angle C=90^\circ.

Обозначим радиус вписанной окружности через

R

. Так как

\angle C=90^\circ

, то стороны

BC

CA

перпендикулярны. Радиусы, проведённые в точки касания, также перпендикулярны соответствующим сторонам, поэтому четырёхугольник, образованный вершиной

C

, центром вписанной окружности и точками

L

K

, является квадратом со стороной

R

.

Значит,

CL=CK=R.

Так как

BC>AC

, то в рассматриваемом случае точка

P

лежит между точками

A

M

Пусть

BL=x.

Тогда по свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки,

BP=BL=x.

По условию

MP=\dfrac{R}{2}.

Поэтому

BM=BP-MP=x-\dfrac{R}{2}.

Но

M

— середина стороны

AB

, значит,

AM=BM=x-\dfrac{R}{2}.

Так как точка

P

лежит между

A

M

, то

AP=AM-MP=\left(x-\dfrac{R}{2}\right)-\dfrac{R}{2}=x-R.

По свойству касательных, проведённых к окружности из точки

A

AK=AP=x-R.

Теперь выразим стороны треугольника:

AC=AK+KC=(x-R)+R=x,

BC=BL+LC=x+R,

AB=AM+MB=\left(x-\dfrac{R}{2}\right)+\left(x-\dfrac{R}{2}\right)=2x-R.

Так как треугольник

ABC

прямоугольный, то по теореме Пифагора

AC^2+BC^2=AB^2.

Подставим найденные выражения:

x^2+(x+R)^2=(2x-R)^2.

Раскроем скобки:

x^2+x^2+2xR+R^2=4x^2-4xR+R^2,

2x^2+2xR=4x^2-4xR,

2x^2-6xR=0,

2x(x-3R)=0.

Так как

x>0

, то

x=3R.

Тогда

AC=x=3R,

BC=x+R=4R,

AB=2x-R=5R.

Следовательно, треугольник

ABC

имеет стороны

3R

4R

5R

.

Тогда

\sin\angle B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3R}{5R}=\dfrac35.

Значит,

\angle B=\arcsin\dfrac35.

Так как

\angle C=90^\circ

, то

\angle A=90^\circ-\arcsin\dfrac35.

Итак,

\angle A=90^\circ-\arcsin\dfrac35,\qquad\angle B=\arcsin\dfrac35,\qquad\angle C=90^\circ.

Ответ:

\angle A=90^\circ-\arcsin\dfrac35

\angle B=\arcsin\dfrac35

\angle C=90^\circ

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи