В правильной четырёхугольной пирамиде высота… — Простая стереометрия — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Простая стереометрияЕГКР 23.04.2022

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

Ответ:

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник

SOA

, катетом которого является высота пирамиды, а гипотенузой -- ее боковое ребро. Тогда по теореме Пифагора

SA^2 = SO^2 + OA^2, \quad OA = \sqrt{SA^2 - SO^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4.

Тогда диагональ основания

AC = 2OA = 2\cdot 4 = 8

.
Значит:

V_{SABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SO = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}AC^2 \cdot SO = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 8^2 \cdot 3 = 32.

$Изображение 2$

Ответ: 32.