На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM:MB=CN:NB=1:2. Вписанная окружность треугольника ABC касается отрезка MN в точке L.
а) Докажите, что AB+BC=5AC.
б) Известно, что ML=1,LN=3. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение
а) ПустьAM=x,CN=y.Тогда, по условию,MB=2x,NB=2y,поэтомуAB=3x,BC=3y.
Так какBABM=32иBCBN=32,то стороны BM и BN треугольника △BMN пропорциональны сторонам BA и BC треугольника △BAC.
Кроме того, угол между этими сторонами общий:∠MBN=∠ABC.Следовательно,△BMN∼△BACпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
ОбозначимMN=2t.Тогда из подобия получаемACMN=BABM=32,значит,AC=3t.Рассмотрим четырёхугольник AMNC. В него вписана окружность, значит, суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны:AM+CN=MN+AC.То естьx+y=2t+3t=5t.ТогдаAB+BC=3x+3y=3(x+y)=3⋅5t=5⋅3t=5AC.Что и требовалось доказать.
\item По условиюML=1,LN=3,следовательно,MN=ML+LN=4.Значит,2t=4,откудаt=2,AC=3t=6.Обозначим через P,Q и R точки касания вписанной окружности со сторонами AB,BC и AC соответственно.
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности,MP=ML=1,NQ=NL=3.ТогдаAP=AM−MP=x−1,CQ=CN−NQ=y−3.Теперь применим то же свойство к точкам A и C:AR=AP=x−1,CR=CQ=y−3.
Значит,AC=AR+RC=(x−1)+(y−3).Так как AC=6, получаем(x−1)+(y−3)=6,то естьx+y=10.Теперь используем равенство касательных, проведённых из точки B:BP=BQ.НоBP=BM+MP=2x+1,BQ=BN+NQ=2y+3.Значит,2x+1=2y+3.Отсюдаx−y=1.Решим систему{x+y=10,x−y=1.Складывая уравнения, получаем2x=11,x=211.Тогдаy=10−211=29.Следовательно,AB=3x=3⋅211=233=16,5,BC=3y=3⋅29=227=13,5,AC=6.Найдём полупериметр:p=2AB+BC+AC=2233+227+6=236=18.Площадь треугольника найдём по формуле Герона:S=p(p−AB)(p−BC)(p−AC).Подставим найденные значения:S=18(18−233)(18−227)(18−6)=18⋅23⋅29⋅12=272.Для вписанной окружностиS=pr.Значит,r=pS=18272=232.Ответ: 232.
