На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM:MB=CN:NB=1:2. Вписанная окружность треугольника ABC касается отрезка MN в точке L.
а) Докажите, что AB+BC=5AC.
б) Известно, что ML=1,LN=3. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение
а) Пусть
AM=x,CN=y. Тогда, по условию,
MB=2x,NB=2y, поэтому
AB=3x,BC=3y.
Так как
BABM=32иBCBN=32, то стороны BM и BN треугольника △BMN пропорциональны сторонам BA и BC треугольника △BAC.
Кроме того, угол между этими сторонами общий:
∠MBN=∠ABC. Следовательно,
△BMN∼△BAC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Обозначим
MN=2t. Тогда из подобия получаем
ACMN=BABM=32, значит,
AC=3t. Рассмотрим четырёхугольник AMNC. В него вписана окружность, значит, суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны:
AM+CN=MN+AC. То есть
x+y=2t+3t=5t.
Тогда
AB+BC=3x+3y=3(x+y)=3⋅5t=5⋅3t=5AC.
Что и требовалось доказать.
\item По условию
ML=1,LN=3, следовательно,
MN=ML+LN=4. Значит,
2t=4, откуда
t=2,AC=3t=6.
Обозначим через P,Q и R точки касания вписанной окружности со сторонами AB,BC и AC соответственно.
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности,
MP=ML=1,NQ=NL=3.
Тогда
AP=AM−MP=x−1,CQ=CN−NQ=y−3.
Теперь применим то же свойство к точкам A и C:AR=AP=x−1,CR=CQ=y−3.
Значит,
AC=AR+RC=(x−1)+(y−3). Так как AC=6, получаем
(x−1)+(y−3)=6, то есть
x+y=10.
Теперь используем равенство касательных, проведённых из точки B:BP=BQ. Но
BP=BM+MP=2x+1,BQ=BN+NQ=2y+3. Значит,
2x+1=2y+3. Отсюда
x−y=1.
Решим систему
{x+y=10,x−y=1. Складывая уравнения, получаем
2x=11, x=211. Тогда
y=10−211=29.
