Постройте график функции y=−x2−14x+3∣x+8∣−48. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+8=0⇒x=−8.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<−8. Получаем y=−x2−17x−72.
Случай 2: x⩾−8. Получаем y=−x2−11x−24.
Таким образом: y={−x2−17x−72,−x2−11x−24,x<−8,x⩾−8. Вершина левой ветви: (−8,5;0,25), вершина правой ветви: (−5,5;6,25). Таблица значений для левой ветви:
x:−10,−9,−8 y:−2,0,0
Таблица значений для правой ветви:
x:−8,−7,−6,−5 y:0,4,6,6
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{0,25}.
