Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (пересдача)

В остроугольном треугольнике

ABC

отрезки

AH

BN

CK

являются высотами. Известно, что

AK = 2

BH = 3

,
а

\angle KNH = 60^\circ

.

а) Докажите, что

\angle ABC = 60^\circ

.

б) Найдите длину высоты

BN

Решение

а) Так как

\angle AKO + \angle ANO = 180^{\circ}

, то

AKON

— вписанный, значит,

\angle KAO = \angle KNO = \alpha

как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Из прямоугольного треугольника

BAH

по свойству суммы острых углов:

\angle ABH = 90^{\circ} - \alpha

.
Из прямоугольного треугольника

BKC

по свойству суммы острых углов:

\angle BCK = 90^{\circ}-(90^{\circ} - \alpha) = \alpha.

Так как

\angle CNO + \angle CHO = 180^{\circ}

, то

CHON

— вписанный, значит,

\angle HCO = \angle HNO = \alpha

как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Получаем, что

\angle KNH = 2\alpha = 60^{\circ}

, откуда

\alpha = 30^{\circ}

. \par \medskip Тогда

\angle ABC = \angle ABH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}

, ч.т.д.

б) По свойству катета, лежащего против угла

30^{\circ}

\triangle BAH

AB = 2BH = 2\cdot 3 = 6, \quad KB = 6 - 2 = 4.

По свойству катета, лежащего против угла

30^{\circ}

\triangle BCK

BC = 2BK = 2\cdot 4 = 8.

По теореме косинусов в

\triangle ABC

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \cdot \cos 60^{\circ};

AC^2 = 6^2 + 8^2 - 2\cdot 6\cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 52;

AC = 2\sqrt{13}.

Тогда получаем, что:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}.

С другой стороны:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BN \cdot AC, \quad BN = \dfrac{2S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2\cdot 12\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{12\sqrt{39}}{13}.

Ответ:

\dfrac{12\sqrt{39}}{13}

Похожие задачи