В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH,BN и CK являются высотами. Известно, что AK=2,BH=3, а ∠KNH=60∘. а) Докажите, что ∠ABC=60∘. б) Найдите длину высоты BN.
Решение
а) Так как ∠AKO+∠ANO=180∘, то AKON -- вписанный, значит, ∠KAO=∠KNO=α как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Из прямоугольного треугольника BAH по свойству суммы острых углов: ∠ABH=90∘−α. Из прямоугольного треугольника BKC по свойству суммы острых углов: ∠BCK=90∘−(90∘−α)=α. Так как ∠CNO+∠CHO=180∘, то CHON -- вписанный, значит, ∠HCO=∠HNO=α как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Получаем, что ∠KNH=2α=60∘, откуда α=30∘. \par \medskip Тогда ∠ABC=∠ABH=90∘−30∘=60∘, ч.т.д.
б) По свойству катета, лежащего против угла 30∘ в △BAH:AB=2BH=2⋅3=6,KB=6−2=4. По свойству катета, лежащего против угла 30∘ в △BCK:BC=2BK=2⋅4=8. По теореме косинусов в △ABC:AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos60∘; AC2=62+82−2⋅6⋅8⋅21=52;AC=213.
Тогда получаем, что:
SABC=21AB⋅BC⋅sin∠ABC=21⋅6⋅8⋅23=123. С другой стороны:
SABC=21BN⋅AC,BN=AC2SABC=2132⋅123=131239.
