Постройте график функции y=−x−1x3+−x−1x2+−4x−49x+−4x−49. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:
Решение
Функция определена при x=−1.
Преобразуем выражение, сокращая общий множитель: y=−44x2+9=−x2−49,x=−1. Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.
Найдём координаты выколотой точки: (−1;−3,25).
Вершина параболы y=−x2−49:(0;−2,25).
Таблица значений для y=−x2−49 (с учетом выколотых точек):
Прямая y=kx проходит через начало координат. Исследуем количество общих точек этой прямой с графиком функции.
Подберём k таким образом, чтобы график y=kx проходил через выколотую точку (−1;−3,25). −3,25=k⋅−1; k=3,25. Кроме этого, прямая y=kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения k. −x2−49=kx; −kx−x2−49=0. Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю: D=k2−9=0; k=−3илиk=3. Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы. Следовательно, k∈{−3}∪{3}∪{3,25}.
