Решите неравенство… — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

НеравенстваЕГЭ 2025 (резерв)

Решите неравенство

\dfrac{2^x}{2^{x}-8}+\dfrac{2^{x}+8}{2^{x}-4}+\dfrac{66}{4^{x}-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0.

Решение

Пусть

t=2^x

, тогда неравенство примет вид:

\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0.

Преобразуем неравенство:

\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0;

\dfrac{t^2-4t+t^2-64+66}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0 \ \big | :2;

\dfrac{t^2-2t+1}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0;

\dfrac{(t-1)^2}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 1$

Получаем:

\left[ \begin{gathered} t=1, \\ 4 < t < 8; \end{gathered}\right.

Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью показательной функции:

\left[ \begin{gathered} 2^x=1, \\ 4 < 2^x < 8; \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} x=0, \\ 2 < x < 3. \end{gathered}\right.

Следовательно,

x\in\{0\} \cup (2;3)

.
Ответ:

\{0\} \cup (2;3)