Постройте график функции \[ y=5 - \dfrac{x +… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=5 - \dfrac{x + 5}{x^{2} + 5 x}.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

Решение

Функция определена при тех значениях

x

, при которых знаменатель не обращается в нуль. Получаем:

x\neq -5

x\neq 0

.

Преобразуем выражение, сокращая общий множитель:

y=\dfrac{5 x - 1}{x}=5 - \dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки:

(-5; 5{,}2)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=5

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=5 - \dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

x

-5

-4

-2

-1

1

2

4

y

5{,}2

5{,}25

5{,}5

6

4

4{,}5

4{,}75

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.12.7_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Она не имеет общих точек с графиком, если совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через выколотую точку.
Следовательно,

m \in \{5\} \cup\{5{,}2\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.12.7_param.svg