Для школьников
Для студентов
Для учителей
Личный кабинет
Главная
Банк задач
Логарифмические неравенства
Задача
Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
ЕГЭ 2023 (основа)
Поделиться
35e0d6dc
log
8
(
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
−
5.
\log_8{(x^3-3x^2+3x-1)}\geqslant \log_2{(x^2-1)}-5.
lo
g
8
(
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
5.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Заметим, что
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
=
(
x
−
1
)
3
.
x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3.
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
=
(
x
−
1
)
3
.
Найдём ОДЗ:
{
(
x
−
1
)
3
>
0
,
x
2
−
1
>
0
⇔
{
x
−
1
>
0
,
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
0
⇔
x
>
1.
\begin{cases}
(x-1)^3>0, \\
x^2-1 >0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x-1 >0, \\
(x-1)(x+1) > 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
x > 1.
{
(
x
−
1
)
3
>
0
,
x
2
−
1
>
0
⇔
{
x
−
1
>
0
,
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
0
⇔
x
>
1.
Преобразуем левую часть неравенства:
log
8
(
x
−
1
)
3
=
log
2
3
(
x
−
1
)
3
=
1
3
⋅
3
⋅
log
2
(
x
−
1
)
=
log
2
(
x
−
1
)
.
\log_8{(x-1)^3} = \log_{2^3}(x-1)^3= \dfrac{1}{3}\cdot 3 \cdot \log_2(x-1)=\log_2(x-1).
lo
g
8
(
x
−
1
)
3
=
lo
g
2
3
(
x
−
1
)
3
=
3
1
⋅
3
⋅
lo
g
2
(
x
−
1
)
=
lo
g
2
(
x
−
1
)
.
Неравенство принимает вид:
log
2
(
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
−
5
;
\log_2(x-1) \geqslant \log_2(x^2-1)-5;
lo
g
2
(
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
5
;
log
2
(
x
2
−
1
)
−
log
2
(
x
−
1
)
⩽
5
;
\log_2(x^2-1) - \log_2(x-1) \leqslant 5;
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
lo
g
2
(
x
−
1
)
⩽
5
;
log
2
x
2
−
1
x
−
1
⩽
5
;
\log_2 \dfrac{x^2-1}{x-1} \leqslant 5;
lo
g
2
x
−
1
x
2
−
1
⩽
5
;
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
x
−
1
⩽
32
;
\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} \leqslant 32;
x
−
1
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
⩽
32
;
x
+
1
⩽
32
;
x+1 \leqslant32;
x
+
1
⩽
32
;
x
⩽
31.
x \leqslant31.
x
⩽
31.
С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ:
x
∈
(
1
;
31
]
.
x \in (1;31].
x
∈
(
1
;
31
]
.
Ответ:
(
1
;
31
]
(1;31]
(
1
;
31
]
.
Похожие задачи
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
3
2
(
3
x
)
−
1
log
3
(
9
x
)
+
1
log
3
x
−
4
⩽
6.
\dfrac{\log_3^2{(3x)}-1}{\log_3(9x)}+\dfrac{1}{\log_3x-4}\leqslant 6.
lo
g
3
(
9
x
)
lo
g
3
2
(
3
x
)
−
1
+
lo
g
3
x
−
4
1
⩽
6.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
3
log
5
(
5
+
20
x
−
5
)
⩽
9
−
2
log
0,2
(
25
−
100
x
−
1
)
.
3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 - 2 \log_{0{,}2} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right).
3
lo
g
5
(
5
+
x
−
5
20
)
⩽
9
−
2
lo
g
0
,
2
(
25
−
x
−
1
100
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
2
log
3
(
x
3
)
−
log
3
(
x
1
−
x
)
⩽
log
3
(
9
x
2
+
1
x
−
4
)
.
2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).
2
lo
g
3
(
x
3
)
−
lo
g
3
(
1
−
x
x
)
⩽
lo
g
3
(
9
x
2
+
x
1
−
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
(
3
x
+
2
)
−
log
2
(
x
+
3
)
⩽
log
2
(
x
+
4
x
2
)
.
\log_2 \left( \frac{3}{x} + 2 \right) - \log_2 (x + 3) \leqslant \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right).
lo
g
2
(
x
3
+
2
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
⩽
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
2
x
−
log
2
x
log
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
⩾
0.
\frac{\log_2^2 x - \log_2 x}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.
l
o
g
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
l
o
g
2
2
x
−
l
o
g
2
x
⩾
0.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
5
log
5
(
log
5
x
)
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
5^{\log_5(\log_5x)}+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0.
5
l
o
g
5
(
l
o
g
5
x
)
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
