Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2023
Скопировать ссылку
35e0d6dc
log
8
(
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
−
5.
\log_8{(x^3-3x^2+3x-1)}\geqslant \log_2{(x^2-1)}-5.
lo
g
8
(
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
5.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Заметим, что
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
=
(
x
−
1
)
3
.
x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3.
x
3
−
3
x
2
+
3
x
−
1
=
(
x
−
1
)
3
.
Найдём ОДЗ:
{
(
x
−
1
)
3
>
0
,
x
2
−
1
>
0
⇔
{
x
−
1
>
0
,
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
0
⇔
x
>
1.
\begin{cases}
(x-1)^3>0, \\
x^2-1 >0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x-1 >0, \\
(x-1)(x+1) > 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
x > 1.
{
(
x
−
1
)
3
>
0
,
x
2
−
1
>
0
⇔
{
x
−
1
>
0
,
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
0
⇔
x
>
1.
Преобразуем левую часть неравенства:
log
8
(
x
−
1
)
3
=
log
2
3
(
x
−
1
)
3
=
1
3
⋅
3
⋅
log
2
(
x
−
1
)
=
log
2
(
x
−
1
)
.
\log_8{(x-1)^3} = \log_{2^3}(x-1)^3= \dfrac{1}{3}\cdot 3 \cdot \log_2(x-1)=\log_2(x-1).
lo
g
8
(
x
−
1
)
3
=
lo
g
2
3
(
x
−
1
)
3
=
3
1
⋅
3
⋅
lo
g
2
(
x
−
1
)
=
lo
g
2
(
x
−
1
)
.
Неравенство принимает вид:
log
2
(
x
−
1
)
⩾
log
2
(
x
2
−
1
)
−
5
;
\log_2(x-1) \geqslant \log_2(x^2-1)-5;
lo
g
2
(
x
−
1
)
⩾
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
5
;
log
2
(
x
2
−
1
)
−
log
2
(
x
−
1
)
⩽
5
;
\log_2(x^2-1) - \log_2(x-1) \leqslant 5;
lo
g
2
(
x
2
−
1
)
−
lo
g
2
(
x
−
1
)
⩽
5
;
log
2
x
2
−
1
x
−
1
⩽
5
;
\log_2 \dfrac{x^2-1}{x-1} \leqslant 5;
lo
g
2
x
−
1
x
2
−
1
⩽
5
;
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
x
−
1
⩽
32
;
\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} \leqslant 32;
x
−
1
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
⩽
32
;
x
+
1
⩽
32
;
x+1 \leqslant32;
x
+
1
⩽
32
;
x
⩽
31.
x \leqslant31.
x
⩽
31.
С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ:
x
∈
(
1
;
31
]
.
x \in (1;31].
x
∈
(
1
;
31
]
.
Ответ:
(
1
;
31
]
(1;31]
(
1
;
31
]
.
