Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачи

ФИПИ

В июле

2025

года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на

30

% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028,

2029

2030

годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле

2030

года долг должен составить

500

тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033,

2034

2035

годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю

2035

года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна

2080

тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в

2026

году?

Решение

Пусть

S

тыс. рублей — сумма кредита, взятая в июле 2025 года. Коэффициент увеличения долга:

k = 1 + 0{,}3 = 1{,}3 .

Первый этап (2025--2030 гг.)

Обозначим через

a

величину (в тыс. рублей), на которую долг уменьшается в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов. Тогда долг на июль каждого года составит:

S,\; S-a,\; S-2a,\; S-3a,\; S-4a,\; S-5a.

По условию, в июле 2030 года долг равен 500 тыс. рублей:

S - 5a = 500.

Второй этап (2030--2035 гг.)

На начало второго этапа (июль 2030 года) долг равен 500 тыс. рублей. Обозначим через

b

величину, на которую долг уменьшается в июле 2031--2035 годов. Тогда:

500,\; 500-b,\; 500-2b,\; 500-3b,\; 500-4b,\; 500-5b.

К июлю 2035 года долг выплачен полностью, следовательно:

500 - 5b = 0;\\ b = 100.

Выплаты.
Внесём в таблицу данные о долге на начало июля каждого года и о долге на конец июля (после платежа). Платёж находится как разность между долгом после января (увеличенным в

k

раз) и долгом на конец июля.

$Изображение 1$

Упростим выражения для платежей первых пяти лет:

\begin{aligned}P_{2026} &= 0{,}3S + a;\\P_{2027} &= 0{,}3(S-a) + a = 0{,}3S - 0{,}3a + a = 0{,}3S + 0{,}7a;\\P_{2028} &= 0{,}3(S-2a) + a = 0{,}3S - 0{,}6a + a = 0{,}3S + 0{,}4a;\\P_{2029} &= 0{,}3(S-3a) + a = 0{,}3S - 0{,}9a + a = 0{,}3S + 0{,}1a;\\P_{2030} &= 0{,}3(S-4a) + a = 0{,}3S - 1{,}2a + a = 0{,}3S - 0{,}2a.\end{aligned}

Сложим эти пять платежей:

P_{2026}+P_{2027}+P_{2028}+P_{2029}+P_{2030} = \\= (0{,}3S \cdot 5) + (a + 0{,}7a + 0{,}4a + 0{,}1a - 0{,}2a) =\\=1{,}5S + (1 + 0{,}7 + 0{,}4 + 0{,}1 - 0{,}2)a = 1{,}5S + 2a.

Платежи 2031--2035 годов уже выражены числами:

P_{2031} = 250,\; P_{2032} = 220,\; P_{2033} = 190,\; P_{2034} = 160,\; P_{2035} = 130.

Их сумма:

250 + 220 + 190 + 160 + 130 = 950. \tag{4}

Общая сумма всех платежей по условию равна 2080 тыс. рублей:

(1{,}5S + 2a) + 950 = 2080;\\ 1{,}5S + 2a = 1130.

Получим систему:

\begin{cases}S - 5a = 500,\\1{,}5S + 2a = 1130.\end{cases}

Из первого уравнения

S = 500 + 5a

. Подставим во второе:

1{,}5(500 + 5a) + 2a = 1130;\\750 + 7{,}5a + 2a = 1130;\\750 + 9{,}5a = 1130;\\9{,}5a = 380;\\ a = 40.

Тогда

S = 500 + 5 \cdot 40 = 700

тыс. рублей.

Платёж 2026 года:

P_{2026} = 0{,}3S + a = 0{,}3 \cdot 700 + 40 = 210 + 40 = 250 \ \text{тыс. руб.}

Ответ:

250000.

Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи