Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнениеx2−a2=4x2−(4a+1)x+aимеет один корень на отрезке [0;1].
Решение
Уравнение равносильно следующей системе:{x2−a2=4x2−4ax−x+a,x2−a2⩾0.Преобразуем уравнение системы:(x−a)(x+a)=4x(x−a)−(x−a);(x−a)(x+a)=(x−a)(4x−1);(x−a)(x+a)−(x−a)(4x−1)=0;(x−a)(x+a−4x+1)=0;(x−a)(−3x+a+1)=0.Тогдаx=a,x=3a+1.Таким образом, система принимает следующий вид:⎩⎨⎧x=a,x=3a+1,x2−a2⩾0.⇔⎩⎨⎧[a=x,a=3x−1,(a−x)(a+x)⩽0.Изобразим множество точек, удовлетворяющих системе на координатной плоскости Oxa:
Положение I: Найдём координаты точки A -- пересечения прямой a=3x−1 и a=−x:3x−1=−x;4x=1;x=41⇒a=−41.Положение III: Найдём координаты точки B -- пересечения прямой a=3x−1 и a=x:3x−1=x;2x=1;x=21⇒a=21.Таким образом, уравнение имеет единственное решение на отрезке [0;1] приa∈[−41;0)∪[21;1].Альтернативное решение:
Таким образом, система принимает следующий вид:⎩⎨⎧x=a,x=3a+1,(x−a)(x+a)⩾0.Проанализируем полученные корни:
1. Корень x1=a:
(a−a)(a+a)=0≥0, следовательно, число x=a всегда является корнем нашего уравнения и при a∈[0;1] принадлежит отрезку [0;1]. 2. Корень x2=3a+1:
Выясним, при каких a значение x=3a+1 является корнем исходного уравнения:(3a+1−a)(3a+1+a)⩾0;(1−2a)(4a+1)≥0.С помощью метода интервалов получаем:a∈[−41;21].Выясним, при каких a значение x=3a+1 принадлежит отрезку [0;1]:0⩽3a+1⩽1;0⩽a+1⩽3;−1≤a≤2.Таким образом, значение x=3a+1 является корнем исходного уравнения и принадлжеит отрезку [0;1] при a∈[−41;21]. 3. Оба значения совпадают, если3a+1=a;a+1=3a;a=21.Заметим, что при данном значении параметра a, оба значения будут являться корнями исходного уравнения и принадлжать отрезку [0;1]
Таким образом, единственное решение на отрезке от [0;1] уравнение имеет при[−41;0)∪[21;1].Ответ: [−41;0)∪[21;1].
