Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2024 (досрок)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+1)x+a}

имеет один корень на отрезке

[0;1]

Решение

Уравнение равносильно следующей системе:

\begin{cases} x^2-a^2 = 4x^2-4ax-x+a, \\ x^2-a^2 \geqslant0.\end{cases}

Преобразуем уравнение системы:

(x-a)(x+a)=4x(x-a)-(x-a);

(x-a)(x+a)=(x-a)(4x-1);

(x-a)(x+a) - (x-a)(4x-1) = 0;

(x-a)(x+a-4x+1)=0;

(x-a)(-3x+a+1)=0.

Тогда

\left[\begin{gathered} x = a, \ \\ x= \dfrac{a+1}{3}.\end{gathered}\right.

Таким образом, система принимает следующий вид:

\begin{cases} \left[\begin{gathered} x = a, \ \\ x= \dfrac{a+1}{3},\end{gathered}\right. \\x^2-a^2 \geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \left[\begin{gathered} a = x, \ \\ a= 3x-1,\end{gathered}\right. \\(a-x)(a+x) \leqslant 0.\end{cases}

Изобразим множество точек, удовлетворяющих системе на координатной плоскости

Oxa

Положение

I

: Найдём координаты точки

A

-- пересечения прямой

a =3x -1

a=-x

3x-1 = -x;

4x=1;

x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a = -\dfrac{1}{4}.

Положение

III

:
Найдём координаты точки

B

-- пересечения прямой

a =3x -1

a=x

3x-1 = x;

2x=1;

x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение на отрезке

[0;1]

при

a \in \left[-\dfrac{1}{4};0 \right) \cup \left[ \dfrac{1}{2}; 1 \right].

Альтернативное решение:

Таким образом, система принимает следующий вид:

\begin{cases} \left[\begin{gathered} x = a, \ \\ x= \dfrac{a+1}{3},\end{gathered}\right. \\(x-a)(x+a) \geqslant 0.\end{cases}

Проанализируем полученные корни:

1. Корень

x_1=a

(a-a)(a+a)=0 \geq 0

, следовательно, число

x=a

всегда является корнем нашего уравнения и при

a \in [0;1]

принадлежит отрезку

[0;1]

.
2. Корень

x_2=\dfrac{a+1}{3}

:

Выясним, при каких

a

значение

x = \dfrac{a+1}{3}

является корнем исходного уравнения:

\left(\dfrac{a+1}{3}-a \right) \left(\dfrac{a+1}{3}+a \right) \geqslant 0;

(1-2a) (4a+1) \geq 0.

С помощью метода интервалов получаем:

a \in \left[ -\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}\right].

Выясним, при каких

a

значение

x=\dfrac{a+1}{3}

принадлежит отрезку

[0;1]

0 \leqslant \dfrac{a+1}{3} \leqslant 1;

0 \leqslant a+1 \leqslant 3;

-1 \leq a \leq 2.

Таким образом, значение

x=\dfrac{a+1}{3}

является корнем исходного уравнения и принадлжеит отрезку

[0;1]

при

a \in \left[ -\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}\right]

.
3. Оба значения совпадают, если

\dfrac{a+1}{3} = a;

a+1 = 3a;

a= \dfrac{1}{2}.

Заметим, что при данном значении параметра

a

, оба значения будут являться корнями исходного уравнения и принадлжать отрезку

[0;1]

Таким образом, единственное решение на отрезке от

[0;1]

уравнение имеет при

\left[-\dfrac{1}{4};0 \right) \cup \left[ \dfrac{1}{2}; 1 \right].

Ответ:

\left[-\dfrac{1}{4};0 \right) \cup \left[ \dfrac{1}{2}; 1 \right].

Похожие задачи