Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2−a2=4x2−(4a+1)x+a имеет один корень на отрезке [0;1].
Решение
Уравнение равносильно следующей системе:
{x2−a2=4x2−4ax−x+a,x2−a2⩾0. Преобразуем уравнение системы:
(x−a)(x+a)=4x(x−a)−(x−a);(x−a)(x+a)=(x−a)(4x−1);(x−a)(x+a)−(x−a)(4x−1)=0;(x−a)(x+a−4x+1)=0;(x−a)(−3x+a+1)=0. Тогда
x=a,x=3a+1. Таким образом, система принимает следующий вид:
⎩⎨⎧x=a,x=3a+1,x2−a2⩾0.⇔⎩⎨⎧[a=x,a=3x−1,(a−x)(a+x)⩽0. Изобразим множество точек, удовлетворяющих системе на координатной плоскости Oxa:
Положение I: Найдём координаты точки A -- пересечения прямой a=3x−1 и a=−x:3x−1=−x;4x=1; x=41⇒a=−41. Положение III: Найдём координаты точки B -- пересечения прямой a=3x−1 и a=x:3x−1=x;2x=1; x=21⇒a=21. Таким образом, уравнение имеет единственное решение на отрезке [0;1] при
a∈[−41;0)∪[21;1].
Альтернативное решение:
Таким образом, система принимает следующий вид:
⎩⎨⎧x=a,x=3a+1,(x−a)(x+a)⩾0. Проанализируем полученные корни:
1. Корень x1=a:
(a−a)(a+a)=0≥0, следовательно, число x=a всегда является корнем нашего уравнения и при a∈[0;1] принадлежит отрезку [0;1]. 2. Корень x2=3a+1:
Выясним, при каких a значение x=3a+1 является корнем исходного уравнения:
(3a+1−a)(3a+1+a)⩾0;(1−2a)(4a+1)≥0. С помощью метода интервалов получаем:
a∈[−41;21]. Выясним, при каких a значение x=3a+1 принадлежит отрезку [0;1]: 0⩽3a+1⩽1;0⩽a+1⩽3;−1≤a≤2. Таким образом, значение x=3a+1 является корнем исходного уравнения и принадлжеит отрезку [0;1] при a∈[−41;21]. 3. Оба значения совпадают, если
3a+1=a;a+1=3a; a=21. Заметим, что при данном значении параметра a, оба значения будут являться корнями исходного уравнения и принадлжать отрезку [0;1]
Таким образом, единственное решение на отрезке от [0;1] уравнение имеет при
[−41;0)∪[21;1]. Ответ: [−41;0)∪[21;1].
