Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2024 (досрок)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

x^2-(x-1)\sqrt{3x-a}=x

имеет один корень на отрезке

[0;1]

Решение

Преобразуем исходное уравнение:

x^2-x-(x-1)\sqrt{3x-a}=0;

x(x-1)-(x-1)\sqrt{3x-a}=0;

(x-1)(x- \sqrt{3x-a})=0.

Получаем, что уравнение равносильно следующей совокупности:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x=1, \\ 3x-a \geqslant 0, \end{cases}\\ x = \sqrt{3x-a}.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered} \begin{cases} x=1, \\ a \leqslant 3x, \end{cases} \ \\ \begin{cases} x^2=3x-a, \\ x \geqslant0. \end{cases}\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered} \begin{cases} x=1, \\ a \leqslant 3x, \end{cases} \ \\ \begin{cases} a = 3x-x^2, \\ x \geqslant0. \end{cases}\end{gathered}\right.

Изобразим множество точек, удовлетворяющих совокупности на координатной плоскости

Oxa

Положение

III

: Найдём координаты точки

A

-- пересечения прямой

a =3x

x=1

a = 3x = 3, \ x =1.

Положение

II

: Найдём координаты точки

B

-- пересечения параболы

a =3x-x^2

x=1

a = 3x -x^2 = 3 - 1 =2, \ x =1.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение, если прямая

a = m

находится ниже положения

I

и между положениями

II

III

, включая их границы. Тогда получаем

a \in (-\infty; 0) \cup [2; 3].

Ответ:

(-\infty; 0) \cup [2; 3]

Похожие задачи