Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2−(x−1)3x−a=x имеет один корень на отрезке [0;1].
Решение
Преобразуем исходное уравнение:
x2−x−(x−1)3x−a=0;x(x−1)−(x−1)3x−a=0;(x−1)(x−3x−a)=0. Получаем, что уравнение равносильно следующей совокупности:
{x=1,3x−a⩾0,x=3x−a.⇔{x=1,a⩽3x,{x2=3x−a,x⩾0.⇔{x=1,a⩽3x,{a=3x−x2,x⩾0. Изобразим множество точек, удовлетворяющих совокупности на координатной плоскости Oxa:
Положение III: Найдём координаты точки A -- пересечения прямой a=3x и x=1:a=3x=3,x=1. Положение II: Найдём координаты точки B -- пересечения параболы a=3x−x2 и x=1:a=3x−x2=3−1=2,x=1. Таким образом, уравнение имеет единственное решение, если прямая a=m находится ниже положения I и между положениями II и III, включая их границы. Тогда получаем
a∈(−∞;0)∪[2;3]. Ответ: (−∞;0)∪[2;3].
