Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2018 (резерв)

Найдите все такие значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\left(2x - x^2\right)^2 - 4\sqrt{2x - x^2} = a^2 - 4a

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Пусть

\sqrt{2x-x^2} = t,

тогда

\begin{cases} 2x-x^2=t^2, \\ t \ge 0; \end{cases} \begin{cases} x^2-2x+t^2=0, \\ t \ge 0; \end{cases} \begin{cases} (x-1)^2+t^2=1, \\ t \ge 0. \end{cases}

Полученная система в координатах

Oxt

задаёт верхнюю полуокружность с центром

(1;0)

и радиусом

R=1.

Следовательно, при

t \in [0;1]

есть решения по

x

, при

t \notin [0;1]

решений по

x

нет.
Исходное уравнение после замены примет вид:

t^4 - 4t = a^2 - 4a

.
Пусть

a^2 - 4a = b

, тогда

b = t^4 - 4t

.
Нам нужно, чтобы это уравнение имело корни из отрезка

[0; 1]

.
Исследуем функцию

b(t) = t^4 - 4t

с помощью производной.

b' = 4t^3 - 4, \\b' = 0, \ \text{тогда} ~~ 4t^3 - 4 = 0, ~~t^3 = 1, ~~t = 1.

b(0) = 0; \quad b(1) = -3.

Изобразим схематично график функции

Запустив горизонтальную считывающую прямую, найдём, что она пересекает график на~

[0;1]

при

b \in [-3;0]

.

Следовательно,

\begin{cases} a^2 - 4a \le 0, \\ a^2 - 4a \ge -3; \end{cases} \begin{cases} a(a-4) \le 0, (1) \\ (a-1)(a-3) \ge 0. \quad (2) \end{cases}

a \in [0;1] \cup [3;4].

Ответ:

a \in [0;1] \cup [3;4].

Похожие задачи