Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(2x−x2)2−42x−x2=a2−4a имеет хотя бы одно решение.
Решение
Пусть 2x−x2=t, тогда {2x−x2=t2,t≥0;{x2−2x+t2=0,t≥0;{(x−1)2+t2=1,t≥0.
Полученная система в координатах Oxt задаёт верхнюю полуокружность с центром (1;0) и радиусом R=1.
Следовательно, при t∈[0;1] есть решения по x, при t∈/[0;1] решений по x нет.
Исходное уравнение после замены примет вид: t4−4t=a2−4a. Пусть a2−4a=b, тогда b=t4−4t. Нам нужно, чтобы это уравнение имело корни из отрезка [0;1]. Исследуем функцию b(t)=t4−4t с помощью производной.
b′=4t3−4,b′=0,тогда4t3−4=0,t3=1,t=1.
b(0)=0;b(1)=−3. Изобразим схематично график функции
Запустив горизонтальную считывающую прямую, найдём, что она пересекает график на~[0;1] при b∈[−3;0].
