Найдите все значения параметра a, при каждом… — Параметры — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2016 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

2^x - a = \sqrt{4^x - 3a}

имеет единственный корень.

Решение

Уравнение

\sqrt{f(x)} = g(x)

равносильно системе

\begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \geqslant 0. \end{cases}

\begin{cases} 2^x - a \geqslant 0, \\ (2^x - a)^2 = 4^x - 3a; \end{cases} \begin{cases} 2^x - a \geqslant 0, \\ 4^x - 2a \cdot 2^x + a^2 = 4^x - 3a; \end{cases} \quad \begin{cases} 2^x - a \geqslant 0, \\ 2a \cdot 2^x = a^2 + 3a. \end{cases}

Пусть

2^x = t, \ t > 0

. Каждому положительному значению

t

соответствует одно значение

x

. Тогда система должна иметь одно положительное решение.

\begin{cases} t - a \geqslant 0, \\ 2at = a^2 + 3a. \quad (1) \end{cases}

Рассмотрим уравнение (1). При

a=0

оно имеет вид

0=0

, значит, любое число является его решением, что нам не подходит.
При

a \neq 0

имеем:

t = \frac{a+3}{2}.

Значит, для того, чтобы система имела одно положительное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

\begin{cases} t - a \geqslant 0, \\ t > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} \dfrac{a+3}{2} - a \geqslant 0, \\ \dfrac{a+3}{2} > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} -a + 3 \geqslant 0, \\ a + 3 > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} a \leqslant 3, \\ a > -3. \end{cases}

$Изображение 1$

$Изображение 2$

Тогда получим

a \in (-3; 3]

.

Пересекая со случаем

a \neq 0

, получим

a \in (-3; 0) \cup (0; 3]

.

Ответ:

a \in (-3; 0) \cup (0; 3]