Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2016 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

2^x - a = \sqrt{4^x - 3a}

имеет единственный корень.

Решение

Уравнение

\sqrt{f(x)} = g(x)

равносильно системе

\begin{cases}f(x) = g^2(x), \\g(x) \geqslant 0.\end{cases}

\begin{cases}2^x - a \geqslant 0, \\(2^x - a)^2 = 4^x - 3a;\end{cases}\begin{cases}2^x - a \geqslant 0, \\4^x - 2a \cdot 2^x + a^2 = 4^x - 3a;\end{cases}\quad\begin{cases}2^x - a \geqslant 0, \\2a \cdot 2^x = a^2 + 3a.\end{cases}

Пусть

2^x = t, \ t > 0

. Каждому положительному значению

t

соответствует одно значение

x

. Тогда система должна иметь одно положительное решение.

\begin{cases}t - a \geqslant 0, \\2at = a^2 + 3a. \quad (1)\end{cases}

Рассмотрим уравнение (1). При

a=0

оно имеет вид

0=0

, значит, любое число является его решением, что нам не подходит.
При

a \neq 0

имеем:

t = \frac{a+3}{2}.

Значит, для того, чтобы система имела одно положительное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

\begin{cases}t - a \geqslant 0, \\t > 0;\end{cases}\quad\begin{cases}\dfrac{a+3}{2} - a \geqslant 0, \\\dfrac{a+3}{2} > 0;\end{cases}\quad\begin{cases}-a + 3 \geqslant 0, \\a + 3 > 0;\end{cases}\quad\begin{cases}a \leqslant 3, \\a > -3.\end{cases}

$Изображение 1$

$Изображение 2$

Тогда получим

a \in (-3; 3]

.

Пересекая со случаем

a \neq 0

, получим

a \in (-3; 0) \cup (0; 3]

.

Ответ:

a \in (-3; 0) \cup (0; 3]

Похожие задачи