Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 01.10.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{9x^4+4x^2(5x+2)-a(2x^2-a)} = 3x^2+4x-a

имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение равносильно следующей системе:

\begin{cases} 3x^2+4x-a \geq 0, \\ 9x^4 + 4x^2(5x+2)-a(2x^2-a)= (3x^2+4x-a)^2.\end{cases}

Преобразуем второе уравнение системы:

9x^4 + 20x^3+ 8x^2-2ax^2+a^2= 9x^4 + 16x^2+a^2+24x^3-6ax^2-8ax;\\4x^3+8x^2-4ax^2-8ax = 0;\\x^3+2x^2-ax^2-2ax=0;\\x^2(x+2)-ax(x+2)=0;\\x(x+2)(x-a)=0;

Получили три корня

x_1 = 0, \quad x_2 = -2 , \quad x =a.

Для каждого корня проверим условие

3x^2+4x-a \geq 0

:

1)

x=0

-a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0

x=-2

3 \cdot (-2)^2+4\cdot (-2)-a \geq 0\\4-a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 4

x=a

3a^2+4a-a \geq 0;\\3a^2+3a \geq 0;\\3a(a+1) \geq 0;

По методу интервалов:

Получаем

a \in (-\infty; -1] \cup [0; + \infty)

Рассмотрим возможные совпадения корней:

1)

x=0

x= -2

никогда не совпадают;
2)

x=0

x=a

совпадают при

a=0

;
3)

x=-2

x=a

совпадают при

a=-2

Таким образом, три решения мы получаем при

a \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1]

.

Ответ:

(-\infty; -2) \cup (-2; -1]

Похожие задачи