Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9x4+4x2(5x+2)−a(2x2−a)=3x2+4x−a имеет ровно три различных корня.
Решение
Уравнение равносильно следующей системе:
{3x2+4x−a≥0,9x4+4x2(5x+2)−a(2x2−a)=(3x2+4x−a)2. Преобразуем второе уравнение системы:
9x4+20x3+8x2−2ax2+a2=9x4+16x2+a2+24x3−6ax2−8ax;4x3+8x2−4ax2−8ax=0;x3+2x2−ax2−2ax=0;x2(x+2)−ax(x+2)=0;x(x+2)(x−a)=0; Получили три корня
x1=0,x2=−2,x=a. Для каждого корня проверим условие 3x2+4x−a≥0:
1) x=0: −a≥0⇔a≤0 2) x=−2: 3⋅(−2)2+4⋅(−2)−a≥04−a≥0⇔a≤4 3) x=a: 3a2+4a−a≥0;3a2+3a≥0;3a(a+1)≥0; По методу интервалов:
Получаем
a∈(−∞;−1]∪[0;+∞)
Рассмотрим возможные совпадения корней:
1) x=0 и x=−2 никогда не совпадают;
2) x=0 и x=a совпадают при a=0; 3) x=−2 и x=a совпадают при a=−2.
Таким образом, три решения мы получаем при a∈(−∞;−2)∪(−2;−1].
