Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax+−7−8x−x2=2a+3 имеет единственное решение.
Решение
Исходное уравнение равносильно системе
{y=2a+3−ax,(1)y=−7−8x−x2.(2) Уравнение (1) в координатах Oxy задаёт пучок прямых y=−a(x−2)+3, проходящих через точку (2;3). Рассмотрим уравнение (2).
Возведём в квадрат обе части уравнения при условии, что y≥0: {y≥0,y2=−7−8x−x2,{y≥0,(x+4)2+y2=9. Эта система задаёт верхнюю полуокружность с центром O(−4;0) радиуса 3.
Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=−a(x−2)+3. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Положение I: прямая y=−a(x−2)+3 проходит через точку (−1;0): 0=−a⋅(−3)+3,a=−1. Положение II: прямая y=−a(x−2)+3 проходит через точку (−7;0): 0=−a⋅(−9)+3,a=−31. Положение III: прямая y=−a(x−2)+3 касается полуокружности. Это происходит, если расстояние от центра полуокружности до прямой равно радиусу полуокружности. Расстояние от точки M(x0;y0) до прямой l:Ax+By+C=0 вычисляется по формуле:
ρ(M;l)=A2+B2∣Ax0+By0+C∣. Центр полуокружности O имеет координаты (−4;0), а прямая l имеет вид: ax+y−2a−3=0, тогда подставляем в формулу:
1+a2∣−4a−2a−3∣=3,∣−6a−3∣=31+a2,∣2a+1∣=1+a2,(2a+1)2=1+a2; 4a2+4a+1=1+a2,3a2+4a=0,a(3a+4)=0; a=0,a=−34. Подставим a=0 в уравнение прямой, получим y=3, что соответствует положению III. При a=−34 прямая касается нижней части полной окружности, но нам это положение не нужно.
Нам нужно одно решение, что соответствует положению III и всем положениям между I и II, включая I и не включая II.
Значит, a∈[−1;−31)∪{0}.
