Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
⎩⎨⎧4−x(y2−xy+3x−y−6)x+4=0,x+y+a=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Решим систему графически в координатах Oxa. \par \medskip
Рассмотрим первое уравнение системы:
⎩⎨⎧[y2−xy+3x−y−6=0,x+4=0,x+4⩾0,4−x>0;⎩⎨⎧[(y+2)(y−3)−x(y−3)=0,x=−4,x⩾−4,x<4;⎩⎨⎧y=3,y=x−2,x=−4,x⩾−4,x<4.(1) Подставим второе уравнение системы y=−a−x в систему (1):
⎩⎨⎧−a−x=3,−a−x=x−2,x=−4,x⩾−4,x<4.⎩⎨⎧a=−x−3,a=−2x+2,x=−4,−4⩽x<4. 1) Уравнение a=−x−3 задаёт прямую с коэффициентом наклона −1. 2) Уравнение y=−2x+2 задаёт прямую с коэффициентом наклона −2. 3) Уравнение x=−4 задаёт вертикальную прямую, параллельную оси Oa. 4) Неравенство −4⩽x<4 задаёт полосу между прямыми x=−4 и x=4, не включая x=4. Найдём точку пересечения a=−2x+2 и a=−x−3: −2x+2=−x−3,x=5. Получаем, что точка пересечения (5;−8) находится вне рассматриваемой области.
Найдём точку пересечения a=−2x+2 и x=−4: a=−2⋅(−4)+2=10. Найдём точку пересечения a=−2x+2 и x=4: a=−2⋅4+2=−6. Найдём точку пересечения a=−x−3 и x=−4: a=−(−4)−3=1. Найдём точку пересечения a=−x−3 и x=4: a=−4−3=−7.
Запустим горизонтальную считывающую прямую, количество точек её пересечения с полученным графиком соответствует количеству решений исходной системы.
Отметим на графике важные положения прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через точку (4;−7), то есть a=−7. Положение II: прямая проходит через точку (4;−6), то есть a=−6. Положение III: прямая проходит через точку (−4;1), то есть a=1. Положение IV: прямая проходит через точку (−4;10), то есть a=10. Нам подходит два решения, что соответствует положениям между I и II, а также между положениям III и IV, не включая I и IV. Значит, a∈(−7;−6]∪[1;10). Ответ: a∈(−7;−6]∪[1;10).
