Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ЕГЭ 2024 (резерв)

а) Решите уравнение

3\tg^2{x}-\dfrac{5}{\cos{x}}+5=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]

Решение

а) Воспользуемся формулой:

1 + \tg^2x = \dfrac{1}{\cos^2 x}, \quad \tg^2x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

3 \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1\right)-\dfrac{5}{\cos{x}}+5=0;

\dfrac{3}{\cos^2{x}} - \dfrac{5}{\cos{x}}+2=0.

Сделаем замену

t = \dfrac{1}{\cos x}

3t^2 - 5t + 2 =0.

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{25 - 24} = 1;

t_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{6}.

Получаем:

t_1 = \frac{6}{6} = 1,\quad t_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Сделаем обратную замену:

\left [\begin{gathered} \dfrac{1}{\cos x} = 1, \\[1ex] \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{3}; \end{gathered}\right. \quad\left [\begin{gathered} \cos x = 1, \\ \cos x = \dfrac{3}{2} > 1, \ \varnothing; \end{gathered}\right. \quad x = 2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-2\pi.

\par \medskip

Ответ: а)

2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-2\pi

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи