Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\cos 2x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]

Решение

а) Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла:

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1;

\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

2\cos^2 x - 1 + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0;

2\cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0;

\cos x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ 2\cos x + \sqrt{3} = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ \cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\\[2mm] x = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-\frac{17\pi}{6},\; -\frac{5\pi}{2},\; -\frac{3\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{17\pi}{6},\; -\dfrac{5\pi}{2},\; -\dfrac{3\pi}{2}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи