Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

2\sqrt{3} \sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) + \sin 2x = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]

Решение

а) Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы синуса двойного угла:

\sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x;

\sin 2x = 2\sin x \cos x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

2\sqrt{3} \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0;

2\cos x (\sqrt{3} \cos x + \sin x) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \cos x = 0,\\ \sqrt{3} \cos x + \sin x = 0. \end{array} \right.

Решим первое уравнение совокупности:

\cos x = 0\;\Leftrightarrow\;x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\, k \in \mathbb{Z}.

Решим второе уравнение совокупности:

\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0 \;\Leftrightarrow\; \tg x = -\sqrt{3} \;\Leftrightarrow\; x = -\frac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-\frac{7\pi}{2},\; -\frac{10\pi}{3},\; -\frac{5\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k,\; -\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{7\pi}{2},\; -\dfrac{10\pi}{3},\; -\dfrac{5\pi}{2}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи