Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 01.10.2025

а) Решите уравнение

2\cos 2x -12\cos \left( x + \dfrac{\pi}{2}\right) -7=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежаие отрезку

\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]

Решение

а)
Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы синуса двойного угла:

\cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin x;\\\cos 2x = 1-2\sin^2 x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

2(1-\sin^2 x) - 12 \cdot (-\sin x) -7 = 0;\\2 - 4\sin ^2 x + 12 \sin x -7 = 0;

домножив уравнение на (-1) получим:

4\sin ^2 x - 12 \sin x +5 =0;

Сделаем замену

t = \sin x

4t^2 - 12t + 5 =0 ;

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 12^2 -4 \cdot 4 \cdot 5 = 144-80 = 64 = 8^2;

t_{1, 2} = \frac{12 \pm 8}{8};

t_1 = \frac{5}{2}, \quad t_2 = \frac{1}{2}.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{1}{2}, \\ \sin x = \frac{5}{2}, \ решений \ нет \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\\ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{gathered}\right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
\img{0}

На отрезок попал корень

x = -\dfrac{11\pi}{6}

.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{11\pi}{6}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи