Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 14.02.2024

а) Решите уравнение

\dfrac{3\cos 2x-5\sqrt2\cos x+5}{9\sin^2 x-7}=0

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[4\pi;\dfrac{11\pi}{2}\right]

Решение

а) Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому получаем систему:

\left\{ \begin{array}{l} 3\cos 2x-5\sqrt2\cos x+5=0,\\[4pt] 9\sin^2 x-7\ne 0. \end{array} \right.

Преобразуем первое уравнение по формуле

\cos 2x=2\cos^2 x-1

3(2\cos^2 x-1)-5\sqrt2\cos x+5=0,\\ 6\cos^2 x-5\sqrt2\cos x+2=0.

Введём замену:

t=\cos x

. Тогда получаем квадратное уравнение

6t^2-5\sqrt2\,t+2=0.

Найдём дискриминант:

D=(-5\sqrt2)^2-4\cdot 6\cdot 2=50-48=2.

Тогда

t_{1,2}=\frac{5\sqrt2\pm \sqrt2}{12}, \\ t_1=\frac{6\sqrt2}{12}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad t_2=\frac{4\sqrt2}{12}=\frac{\sqrt2}{3}.

Значит,

\cos x=\frac{\sqrt2}{2} \qquad \text{или} \qquad \cos x=\frac{\sqrt2}{3}.

Теперь учтём второе условие системы:

9\sin^2 x-7\ne 0.

Выразим его через

\cos x

9(1-\cos^2 x)-7\ne 0,\\ 2-9\cos^2 x\ne 0,\\ 9\cos^2 x\ne 2,\\ \cos^2 x\ne \frac{2}{9},\\ \cos x\ne \pm \frac{\sqrt2}{3}.

Значит, из первого уравнения остаётся только случай

\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}

.

Тогда

x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[4\pi;\dfrac{11\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а).

На отрезок попадает только корень

x=\dfrac{17\pi}{4}

.

Ответ: а)

x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k

k\in\mathbb Z

. б)

\dfrac{17\pi}{4}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи