а) Решите уравнение 8sin2x−6cosx−3=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−27π;−2π].
Решение
а) По основному тригонометрическому тождеству
sin2x=1−cos2x Тогда уравнение принимает следующий вид:
8⋅(1−cos2x)−6cosx−3=0;8−8cos2x−6cosx−3=0. Сделаем замену t=cosx: −8t2−6t+5=0;8t2+6t−5=0;D=62−4⋅8⋅(−5)=36+160=196=142. t1=2⋅8−6+14=168=21,t2=2⋅8−6−14=16−20=−45 Получаем:
cosx=21,cosx=−45(решенийнет).⇒x=±3π+2πk,k∈Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−27π;−2π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
