Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 04.02.2025

а) Решите уравнение

8\sin^2x-6\cos x -3=0

.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]

Решение

а) По основному тригонометрическому тождеству

\sin^2x = 1 -\cos ^2x

Тогда уравнение принимает следующий вид:

8 \cdot (1- \cos^2 x) -6\cos x -3 =0;\\8 - 8 \cos ^2 x -6 \cos x -3 =0.

Сделаем замену

t = \cos x

-8t^2 - 6t +5 =0;\\8t^2 + 6t - 5 =0;\\D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5)= 36 +160 = 196 = 14^2.

t_1 = \dfrac{-6 + 14}{2 \cdot 8} = \dfrac{8}{16}= \dfrac{1}{2}, \quad t_2 = \dfrac{-6 -14}{2 \cdot 8} = \dfrac{-20}{16}= -\dfrac{5}{4}

Получаем:

\left[ \begin{gathered} \cos x = \dfrac{1}{2}, \\ \cos x = -\dfrac{5}{4} \ (решений \ нет ). \end{gathered} \right. \Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попал корень:

-\dfrac{7\pi}{3}.

Ответ: а)

x = \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}

, б)

-\dfrac{7\pi}{3}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи