Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 19.12.2024

а) Решите уравнение

3\cos 2x-7 \sin \left( \dfrac{\pi}{2}+x\right) -2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\right]

Решение

а)
Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла:

\sin \left( \dfrac{\pi}{2} + x \right) = \cos x;\\\cos 2x = 2\cos ^2 x -1;

Тогда уравнение принимает следующий вид:

3 \cdot (2\cos ^2x-1) - 7 \cos x -2 =0;\\6\cos ^2 x -3-7 \cos x -5 = 0;\\6\cos ^2 x - 7 \cos x -5 =0.

Сделаем замену

t = \cos x

6t^2-7t-5=0;\\D = 7^2 - 4\cdot6 \cdot (-5) = 49+120=169=13^2;\\t_1 = \dfrac{7 + 13}{12}= \dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3}, \quad t_2 = \dfrac{7-13}{12}= -\dfrac{6}{12} = -\dfrac{1}{2}.

Сделаем обратную замену:

\left[\begin{gathered} \cos x = \dfrac{5}{3} \ - \ нет \ решений, \\ \cos x = -\dfrac{1}{2}. \end{gathered}\right.\Rightarrow x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попал корень:

\dfrac{14\pi}{3}.

Ответ: а)

\pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \ б) \ \dfrac{14\pi}{3}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи