Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}a x^2+a y^2+2 a x +(a + 2) y+1=0, \\xy + 1 =x + y\end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Преобразуем второе уравнение системы:

xy + 1 = x + y \quad \Rightarrow \quad xy - x - y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-1)(y-1) = 0.

Таким образом, система исходная система равносильна

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0,\\ x = 1; \end{cases} \; (1) \\ &\begin{cases} ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0,\\ y = 1. \end{cases} \; (2) \end{aligned} \right.

Выясним при каких

a

каждая из систем имеет два решения.

(1) Подставим

x = 1

в первое уравнение:

a \cdot 1^2 + a y^2 + 2a \cdot 1 + (a+2)y + 1 = 0;\\ a y^2 + (a+2)y + 3a + 1 = 0.

При

a = 0

уравнение является линейным и имеет ровно одно решение

y = -\dfrac{1}{2}

. При

a \neq 0

получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если

D > 0

D = (a+2)^2 - 4a(3a+1) > 0;\\ -11a^2 + 4 > 0;\\ a^2 < \frac{4}{11};\\ a\in \left(-\dfrac{2}{\sqrt{11}}; 0\right)\cup \left(0; \dfrac{2}{\sqrt{11}}\right).

(2) Подставим

y = 1

в первое уравнение:

a x^2 + a \cdot 1^2 + 2a x + (a+2)\cdot 1 + 1 = 0;\\ a x^2 + 2a x + 2a + 3 = 0.

При

a = 0

уравнение не имеет решений. При

a \neq 0

получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если

D > 0

D = (2a)^2 - 4a(2a+3) > 0;\\ -4a^2 - 12a > 0;\\ 4a(a+3) < 0;\\ a \in (-3; 0).

Прямые

x = 1

y = 1

пересекаются в точке

(1; 1)

, поэтому это единственный возможный общий корень систем (1) и (2). Выясним, когда это происходит. Подставим

(1; 1)

в первое уравнение исходной системы:

a \cdot 1 + a \cdot 1 + 2a \cdot 1 + (a+2) \cdot 1 + 1 = 5a + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{3}{5}.

Сравним

-\dfrac{3}{5}

-\dfrac{2}{\sqrt{11}}

-\dfrac{3}{5} \vee -\dfrac{2}{\sqrt{11}};\\ \dfrac{2}{\sqrt{11}} \vee \dfrac{3}{5};\\ \dfrac{4}{11} \vee \dfrac{9}{25};\\ 100 > 99.

Таким образом,

-\dfrac{2}{\sqrt{11}} < -\dfrac{3}{5}

.

Итак, система имеет ровно четыре различных решения при

a \in \left( -\dfrac{2}{\sqrt{11}}; -\dfrac{3}{5} \right) \cup \left( -\dfrac{3}{5}; 0 \right)

Ответ:

\left( -\dfrac{2}{\sqrt{11}}; -\dfrac{3}{5} \right) \cup \left( -\dfrac{3}{5}; 0 \right)

Похожие задачи