В июле 2020 года планируется взять кредит в… — Экономические задачи — ЕГЭ

Школьник

Студент

Преподаватель

Экономические задачиДосрок 2023

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

-- каждый январь долг увеличивается на 25\% по сравнению с концом
предыдущего года;

-- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение

Пусть

S

рублей — сумма кредита. Коэффициент увеличения долга:

k = 1 + \dfrac{25}{100}=\dfrac{5}{4}

. Ежегодная выплата равна

x

рублей.

$Изображение 1$

\end{center}
В конце 3-го года кредит должен быть полностью выплачен. Получим уравнение:

((Sk - x)\cdot k -x) \cdot k - x = 0.

Решим:

Sk^3 - xk^2-xk-x = 0;

Sk^3 -x(k^2+k+1)=0;

x = \dfrac{Sk^3}{k^2+k+1}.

Общая сумма выплат составляет

3x

. По условию эта сумма на

54040

рублей больше взятой суммы:

3x - S = 65500

Подставим выражение для

x

3\cdot \dfrac{Sk^3}{k^2+k+1} - S = 65500.

Вычислим

k^3

k^2+k+1

k = \dfrac{5}{4}, \quad k^2 = \dfrac{25}{16}, \quad k^3 = \dfrac{125}{64};

k^2+k+1 = \dfrac{25}{16} + \dfrac{5}{4} + 1 = \dfrac{25+20+16}{16} = \dfrac{61}{16}.

Тогда

\dfrac{k^3}{k^2+k+1} = \dfrac{125}{64} \cdot \dfrac{16}{61} = \dfrac{125}{244}.

Уравнение принимает вид:

3S \cdot \dfrac{125}{244} -S = 65500;

\dfrac{375S - 224S}{244}= 65500;

\dfrac{131S}{244}= 65500; \quad | : 131

\dfrac{S}{244}= 500;

S = 244 \cdot 500 = 122000.

Таким образом, сумма кредита равна

122000

рублей.

Ответ:

122000