Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x^{2} - 11 x - 2 \left|{x - 5}\right| + 30.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-5=0 \Rightarrow x=5

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<5

, тогда

|x-5|=-(x-5)

.
Получаем

y=x^{2} - 9 x + 20

.

Случай

2

x\geqslant 5

, тогда

|x-5|=x-5

.
Получаем

y=x^{2} - 13 x + 40

.

Таким образом:

y=\begin{cases}x^{2} - 9 x + 20, & x<5,\\x^{2} - 13 x + 40, & x\geqslant 5.\end{cases}

В граничной точке

x=5

проверим значения обеих формул:

y_1(5)=5^{2} - 9\cdot 5 + 20=0,\qquad y_2(5)=5^{2} - 13\cdot 5 + 40=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(5; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=x^{2} - 9 x + 20

имеем

a=1

b=-9

c=20

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-9}{2\cdot(1)}=4{,}5.

y_0=1\cdot(4{,}5)^2-9\cdot(4{,}5)+20=-0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(4{,}5; -0{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} - 13 x + 40

имеем

a=1

b=-13

c=40

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-13}{2\cdot(1)}=6{,}5.

y_0=1\cdot(6{,}5)^2-13\cdot(6{,}5)+40=-2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(6{,}5; -2{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{-0{,}25\} \cup\{0\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи