Квадратичная, кубическая зависимость — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задачи с прикладным содержанием

ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

T(t)=T_0+bt+at^2

, где

t

— время (в мин.),

T_0

1600

К,

a=-5

К/мин

^2

b=105

К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше

1870

К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Ответ:

Решение

1. Записываем зависимость температуры от времени

По условию задачи температура нагревательного элемента изменяется по закону:

T(t) = T_0 + bt + at^2.

Подставляем известные значения:

T_0 = 1600

К,

a = -5

К/мин

^2

b = 105

К/мин:

T(t) = 1600 + 105t - 5t^2.

2. Составляем уравнение для нахождения момента достижения критической температуры

Прибор может испортиться при температуре свыше 1870 К, поэтому находим момент времени, когда температура становится равной 1870 К:

1600 + 105t - 5t^2 = 1870.

3. Решаем уравнение

Переносим все члены в одну сторону:

-5t^2 + 105t + 1600 - 1870 = 0.

-5t^2 + 105t - 270 = 0.

Умножаем на

-1

5t^2 - 105t + 270 = 0.

Делим на 5:

t^2 - 21t + 54 = 0.

4. Находим корни

Дискриминант:

D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 441 - 216 = 225.

t = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{21 \pm 15}{2}.

t_1 = \frac{21 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18, \qquad t_2 = \frac{21 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3.

5. Анализируем ситуацию

Функция

T(t) = 1600 + 105t - 5t^2

— это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при

t^2

отрицательный). Максимальное значение температура принимает в вершине параболы:

t_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{105}{2 \cdot (-5)} = -\frac{105}{-10} = 10,5.

При

t = 3

мин температура достигает 1870 К при нагревании, а при

t = 18

мин — при остывании. Между этими моментами температура превышает 1870 К. Поэтому прибор нужно отключить до того, как температура превысит критическое значение, то есть в момент

t = 3

мин.

6. Вывод

\boxed{3}

Квадратичная, кубическая зависимость — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи