Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваЕГЭ 2024 (досрок)

Решите неравенство

\log_3{\left(\dfrac{1}{x}-1\right)+\log_3\left(\dfrac{1}{x}+1\right)}\leqslant \log_3{(8x-1)}.

Решение

Запишем область допустимых значений:

\begin{cases} \dfrac{1}{x}-1>0, \\[5pt] \dfrac{1}{x}+1 >0,\\[5pt] 8x-1>0.\end{cases}\Leftrightarrow \quad x \in \left(\dfrac{1}{8}; 1 \right).

Выполним преобразования:

\log_3{\left(\dfrac{1}{x}-1\right)+\log_3\left(\dfrac{1}{x}+1\right)} = \log_3\left( \left(\dfrac{1}{x}-1\right) \left(\dfrac{1}{x}+1\right) \right) = \log_3 \left( \dfrac{1}{x^2}-1 \right).

Неравенство примет вид:

\log_3 \left( \dfrac{1}{x^2}-1 \right) \leqslant \log_3{(8x-1)}.

Так как основание логафрима

3 > 1

, то

\log_{3}f(x)

-- возрастающая функция, значит:

\dfrac{1}{x^2}-1 \leqslant 8x-1;

\dfrac{1}{x^2}-8x \leqslant 0;

\dfrac{1-8x^3}{x^2} \leqslant 0;

\dfrac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{x} \leqslant 0.

Заметим, что множитель

(1+2x+4x^2)

всегда положителен, так как

D= 4-16=-12<0

и коэффициент перед

x^2

больше нуля, тогда неравенство примет вид:

\dfrac{1-2x}{x^2} \leqslant0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ:

x \in \left[\dfrac{1}{2}; 1 \right).

Ответ:

\left[\dfrac{1}{2}; 1 \right)

Похожие задачи