Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

НеравенстваДосрок 2024
Решите неравенство



log⁡3(1x−1)+log⁡3(1x+1)⩽log⁡3(8x−1)\log_3{\left(\dfrac{1}{x}-1\right)+\log_3\left(\dfrac{1}{x}+1\right)}\leqslant \log_3{(8x-1)}log3​(x1​−1)+log3​(x1​+1)⩽log3​(8x−1)

Решение

Запишем область допустимых значений:
{1x−1>0,1x+1>0,8x−1>0.⇔x∈(18;1).\begin{cases}
\dfrac{1}{x}-1>0, \\[5pt]
\dfrac{1}{x}+1 >0,\\[5pt]
8x-1>0.
\end{cases}
\Leftrightarrow \quad x \in \left(\dfrac{1}{8}; 1 \right).⎩⎨⎧​x1​−1>0,x1​+1>0,8x−1>0.​⇔x∈(81​;1).
Выполним преобразования:
log⁡3(1x−1)+log⁡3(1x+1)=log⁡3((1x−1)(1x+1))=log⁡3(1x2−1).\log_3{\left(\dfrac{1}{x}-1\right)+\log_3\left(\dfrac{1}{x}+1\right)} = \log_3\left( \left(\dfrac{1}{x}-1\right) \left(\dfrac{1}{x}+1\right) \right) = \log_3 \left( \dfrac{1}{x^2}-1 \right).log3​(x1​−1)+log3​(x1​+1)=log3​((x1​−1)(x1​+1))=log3​(x21​−1).
Неравенство примет вид:
log⁡3(1x2−1)⩽log⁡3(8x−1).\log_3 \left( \dfrac{1}{x^2}-1 \right) \leqslant \log_3{(8x-1)}.log3​(x21​−1)⩽log3​(8x−1).
Так как основание логафрима 3>13 > 13>1, то log⁡3f(x)\log_{3}f(x)log3​f(x) -- возрастающая функция, значит:
1x2−1⩽8x−1;\dfrac{1}{x^2}-1 \leqslant 8x-1;x21​−1⩽8x−1;
1x2−8x⩽0;\dfrac{1}{x^2}-8x \leqslant 0;x21​−8x⩽0;
1−8x3x2⩽0;\dfrac{1-8x^3}{x^2} \leqslant 0;x21−8x3​⩽0;
(1−2x)(1+2x+4x2)x⩽0.\dfrac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{x} \leqslant 0.x(1−2x)(1+2x+4x2)​⩽0.
Заметим, что множитель (1+2x+4x2)(1+2x+4x^2)(1+2x+4x2) всегда положителен, так как D=4−16=−12<0D= 4-16=-12<0D=4−16=−12<0 и коэффициент перед x2x^2x2 больше нуля, тогда неравенство примет вид:
1−2xx2⩽0.\dfrac{1-2x}{x^2} \leqslant0.x21−2x​⩽0.
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Изображение 1

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ:
Изображение 2

x∈[12;1).x \in \left[\dfrac{1}{2}; 1 \right).x∈[21​;1).

Ответ: [12;1)\left[\dfrac{1}{2}; 1 \right)[21​;1).