Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(x - 1)a^2 - x(x^2 - 1)a + x^4 - 2x^2 + 1 = 0

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение:

(x - 1)a^2 - x(x - 1)(x+1)a + (x^2-1)^2 = 0;

(x - 1)a^2 - x(x - 1)(x+1)a + (x-1)^2(x+1)^2 = 0;

(x - 1)(a^2 - x(x+1)a + (x-1)(x+1)^2) = 0;

(x - 1)(a^2 - (x^2+x)a + (x^2-1)(x+1)) = 0;

По теореме, обратной теореме Виета, уравнение

a^2 - (x^2+x)a + (x^2-1)(x+1) = 0

имеет следующие корни:

a_1 = x^2-1, \quad a_2 = x+1.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} &x = 1, \\ &a = x^2-1, \\ &a = x + 1.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x=1

задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение

a=x^2-1

задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в

(0;-1)

.
3. Уравнение

a=x+1

задаёт прямую с коэффициентом угла наклона, равным 1.

Найдём точку пересечения прямых

a=x+1

x=1

a=1+1 = 2.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(1; 2)

.
Найдём точку пересечения

a=x^2-1

x=1

a=1^2-1 = 0.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(1; 0)

.
Найдём точку пересечения

a=x^2-1

a=x+1

x^2-1=x+1, \quad x^2 - x - 2=0, \quad (x+1)(x-2) = 0.

Получаем, что точки пересечения имеют координаты:

(-1; 0)

(2;3)

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения
с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.

Положение I: прямая проходит через точку

(0;-1)

, тогда

a = -1

.

Положение II: прямая проходит через точку

(-1;0)

, тогда

a = 0

.
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже I, не включая I, а также положению II.
Значит,

a\in(-\infty; -1) \cup\{0\}

.

Ответ:

a\in(-\infty; -1) \cup\{0\}

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи