Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(x−1)a2−x(x2−1)a+x4−2x2+1=0 имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение:
(x−1)a2−x(x−1)(x+1)a+(x2−1)2=0;(x−1)a2−x(x−1)(x+1)a+(x−1)2(x+1)2=0;(x−1)(a2−x(x+1)a+(x−1)(x+1)2)=0;(x−1)(a2−(x2+x)a+(x2−1)(x+1))=0; По теореме, обратной теореме Виета, уравнение a2−(x2+x)a+(x2−1)(x+1)=0 имеет следующие корни:
a1=x2−1,a2=x+1. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
x=1,a=x2−1,a=x+1. Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x=1 задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение a=x2−1 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в (0;−1). 3. Уравнение a=x+1 задаёт прямую с коэффициентом угла наклона, равным 1.
Найдём точку пересечения прямых a=x+1 и x=1:a=1+1=2. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (1;2). Найдём точку пересечения a=x2−1 и x=1:a=12−1=0. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (1;0). Найдём точку пересечения a=x2−1 и a=x+1:x2−1=x+1,x2−x−2=0,(x+1)(x−2)=0. Получаем, что точки пересечения имеют координаты: (−1;0) и (2;3).
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения
с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решений.
Положение I: прямая проходит через точку (0;−1), тогда a=−1.
Положение II: прямая проходит через точку (−1;0), тогда a=0. Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже I, не включая I, а также положению II.
Значит, a∈(−∞;−1)∪{0}.
