Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD --- в точке N, причем AM:MC=1:2,BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD=0,2.
б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
Решение
а) Обозначим через O точку пересечения диагоналей ромба, через P и Q --- точки пересечения данной прямой со сторонами AD и BC соответственно. Проведем высоту BH ромба. И пусть K --- точка пересечения высоты BH с диагональю AC.
Так как ABCD --- ромб, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
По условию AM:MC=1:2. Обозначим
AM=2x,MC=4x.
Тогда
AC=6x.
Так как O --- середина диагонали AC, то
AO=OC=3x.
Значит,
MO=AO−AM=3x−2x=x.
По условию BN:ND=1:3. Обозначим
BN=y,ND=3y.
Тогда
BD=4y.
Так как O --- середина диагонали BD, то
BO=OD=2y.
Значит,
NO=BO−BN=2y−y=y.
Так как прямая MN⊥AD и BH⊥AD, то
MN∥BH.
В △BDH точки N и P лежат на сторонах BD и DH, причем NP∥BH. Поэтому по теореме Фалеса
HP:PD=BN:ND=1:3.
Пусть
HP=a,PD=3a.
Рассмотрим треугольник △BOK. В нем N --- середина стороны BO, а MN∥BK. Значит, по теореме Фалеса точка M --- середина стороны OK.
Следовательно,
KM=MO=x.
Так как AM=2x, то
AK=AM−KM=2x−x=x.
Теперь рассмотрим треугольник △APM. В нем K --- середина стороны AM, а MP∥HK. Значит, по теореме Фалеса точка H --- середина стороны AP.
Следовательно,
AH=HP=a.
Тогда
AD=AH+HP+PD=a+a+3a=5a.
Поскольку ABCD --- ромб, то
AB=AD=5a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABH. В нем
AH=a,AB=5a.
Значит,
cos∠BAD=ABAH=5aa=51=0,2.
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим треугольник △BOK. В нем M --- середина стороны KO, а N --- середина стороны BO. Следовательно, MN --- средняя линия треугольника △BOK.
По условию MN=5. Значит,
BK=2MN=10.
Теперь рассмотрим треугольники △AHK и △BKC. Они подобны, так как они прямоугольные и ∠AKH=∠CKB как вертикальные углы.
Поскольку
AK=x,KC=KM+MO+OC=x+x+3x=5x, получаем
AK:KC=1:5,
Значит, из подобия
HK:BK=1:5.
Так как BK=10, то
HK=2.
Тогда высота ромба равна
BH=BK+HK=10+2=12.
Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABH. В нем
AB=5a,AH=a,BH=12.
По теореме Пифагора:
(5a)2=a2+122.
Получаем:
25a2=a2+144,24a2=144,a2=6,a=6.
Тогда
AD=5a=56.
Площадь ромба равна произведению стороны AD на высоту BH:S=AD⋅BH=56⋅12=606.
