Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD --- в точке N, причем AM:MC=1:2,BN:ND=1:3.
а) Докажите, что cos∠BAD=0,2.
б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
Решение
а) Обозначим через O точку пересечения диагоналей ромба, через P и Q --- точки пересечения данной прямой со сторонами AD и BC соответственно. Проведем высоту BH ромба. И пусть K --- точка пересечения высоты BH с диагональю AC.
Так как ABCD --- ромб, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
По условию AM:MC=1:2. ОбозначимAM=2x,MC=4x.ТогдаAC=6x.Так как O --- середина диагонали AC, тоAO=OC=3x.Значит,MO=AO−AM=3x−2x=x.По условию BN:ND=1:3. ОбозначимBN=y,ND=3y.ТогдаBD=4y.Так как O --- середина диагонали BD, тоBO=OD=2y.Значит,NO=BO−BN=2y−y=y.Так как прямая MN⊥AD и BH⊥AD, тоMN∥BH.В △BDH точки N и P лежат на сторонах BD и DH, причем NP∥BH. Поэтому по теореме ФалесаHP:PD=BN:ND=1:3.ПустьHP=a,PD=3a.Рассмотрим треугольник △BOK. В нем N --- середина стороны BO, а MN∥BK. Значит, по теореме Фалеса точка M --- середина стороны OK.
Следовательно,KM=MO=x.Так как AM=2x, тоAK=AM−KM=2x−x=x.Теперь рассмотрим треугольник △APM. В нем K --- середина стороны AM, а MP∥HK. Значит, по теореме Фалеса точка H --- середина стороны AP.
Следовательно,AH=HP=a.ТогдаAD=AH+HP+PD=a+a+3a=5a.Поскольку ABCD --- ромб, тоAB=AD=5a.Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABH. В немAH=a,AB=5a.Значит,cos∠BAD=ABAH=5aa=51=0,2.Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим треугольник △BOK. В нем M --- середина стороны KO, а N --- середина стороны BO. Следовательно, MN --- средняя линия треугольника △BOK.
По условию MN=5. Значит,BK=2MN=10.Теперь рассмотрим треугольники △AHK и △BKC. Они подобны, так как они прямоугольные и ∠AKH=∠CKB как вертикальные углы.
ПосколькуAK=x,KC=KM+MO+OC=x+x+3x=5x,получаемAK:KC=1:5,Значит, из подобияHK:BK=1:5.Так как BK=10, тоHK=2.
Тогда высота ромба равнаBH=BK+HK=10+2=12.Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABH. В немAB=5a,AH=a,BH=12.По теореме Пифагора:(5a)2=a2+122.Получаем:25a2=a2+144,24a2=144,a2=6,a=6.ТогдаAD=5a=56.Площадь ромба равна произведению стороны AD на высоту BH:S=AD⋅BH=56⋅12=606.Ответ: 606.
