Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

В квадрате

A B C D

точки

M

N

— середины сторон

A B

B C

соответственно. Отрезки

C M

D N

пересекаются в точке

K

.

а) Докажите, что

\angle B K M=45^{\circ}

.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

A B K

, если сторона

A B=2 \sqrt{10}

Решение

а) Обозначим

\angle NDC = \alpha

. Прямоугольные треугольники

NDC

MBC

равны по двум катетам:

NC = MB

DC = BC

. Следовательно,

\angle BCM = \alpha

. Тогда

\angle MCD = 90^\circ - \alpha

, поэтому треугольник

KCD

— прямоугольный с прямым углом

CKD

. Следовательно,

\angle NKM = \angle{CKD} = 90^{\circ}.

Рассмотрим четырехугольник

BMKN

\angle MBN + \angle NKM = 90^\circ + 90^\circ = 180^{\circ},

из чего следует, что

BMKN

— вписанный. Прямоугольный треугольник

BMN

равнобедренный (

BM = BN

), поэтому

\angle BNM = 45^\circ

. Вписанные углы

BKM

BNM

опираются на одну дугу

{MB}

, значит,

\angle BKM = \angle BNM = 45^\circ.

$Изображение 1$

б) Пусть

\angle{MDA} = x

. Четырехугольник

AMKD

также вписанный, так как

\angle MAD + \angle MKD = 90^\circ + 90^\circ = 180^{\circ}.

Следовательно,

\angle MKA = \angle MDA = x.

Заметим, что

\angle{AKB} = \angle{MKB} + \angle{MKA} = x + 45^{\circ}.

Найдем радиус окружности, описанной около треугольника

ABK

, по теореме синусов:

2R = \frac{AB}{\sin \angle AKB} = \frac{AB}{\sin (x + 45^{\circ})}.

Найдем

\sin(x + 45^\circ)

. По теореме Пифагора в треугольнике

ADM

получаем:

MD = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{40 + 10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

Из прямоугольного треугольника

MAD

находим

\sin{x}

\cos{x}

\sin x = \frac{AM}{MD} = \frac{\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5};

\cos x = \frac{AD}{MD} = \frac{2\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.

$Изображение 2$

Воспользуемся формулой синуса суммы:

\sin(x + 45^\circ) = \sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.

Получаем:

2R = \frac{2\sqrt{10}}{\dfrac{3\sqrt{10}}{10}} = \frac{2\sqrt{10} \cdot 10}{3\sqrt{10}} = \frac{20}{3} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{10}{3}.

Ответ:

\dfrac{10}{3}

Похожие задачи