В квадрате ABCD точки M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что ∠BKM=45∘.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=210.
Решение
а) Обозначим ∠NDC=α. Прямоугольные треугольники NDC и MBC равны по двум катетам: NC=MB и DC=BC. Следовательно, ∠BCM=α. Тогда ∠MCD=90∘−α, поэтому треугольник KCD -- прямоугольный с прямым углом CKD. Следовательно,
∠NKM=∠CKD=90∘.
Рассмотрим четырехугольник BMKN: ∠MBN+∠NKM=90∘+90∘=180∘, из чего следует, что BMKN — вписанный. Прямоугольный треугольник BMN равнобедренный (BM=BN), поэтому ∠BNM=45∘. Вписанные углы BKM и BNM опираются на одну дугу MB, значит,
∠BKM=∠BNM=45∘.
б) Пусть ∠MDA=x. Четырехугольник AMKD также вписанный, так как
∠MAD+∠MKD=90∘+90∘=180∘. Следовательно,
∠MKA=∠MDA=x. Заметим, что
∠AKB=∠MKB+∠MKA=x+45∘.
Найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABK, по теореме синусов:
2R=sin∠AKBAB=sin(x+45∘)AB.
Найдем sin(x+45∘). По теореме Пифагора в треугольнике ADM получаем:
MD=(210)2+(10)2=40+10=50=52. Из прямоугольного треугольника MAD находим sinx и cosx: sinx=MDAM=5210=55; cosx=MDAD=52210=525.
