Квадрат, Прямоугольник, Ромб

Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD — в точке N, причем AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что cos∠ BAD=0,2. б) Найдите площадь ромба, если MN=5.

Дан прямоугольник A B C D. Известно, что C D=3 A D. Точка M — середина его стороны A D. На стороне C D отмечена точка N. Известно, что C N=2 N D. Точка K — середина отрезка C M. a) Докажите, что точки B, N и K лежат на одной прямой. б) Найдите длину KN, если известно, что AD=4.

В квадрате ABCD точки M и N —– середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM = 45^∘. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если AB = 4√(5).

Дан ромб ABCD. Точки P и Q – середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AP и AQ пересекают диагональ BD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что сумма площадей треугольников BMP и DNQ равна площади треугольника AMN. б) Известно, что в CPMNQ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна 12√(5).

Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM = MN = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q. а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC. б) Найдите BD, если известно, что AC = 2√(3) и около пятиугольника MNQDP можно описать окружность.

Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD , пересекает его диагональ AC в точке M , а диагональ BD в точке N , причём AM : MC = 1 : 2 , BN : ND = 1 : 3 . a) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4 . б) Найдите сторону ромба, если MN = √(6) .

В квадрате A B C D точки M и N - середины сторон A B и B C соответственно. Отрезки C M и D N пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ B K M=45°. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника A B K, если сторона A B=2 √(10).

Прямая, перпендикулярная стороне B C ромба A B C D, пересекает его диагональ A C в точке M, а диагональ B D в точке N, причём A M: M C=1: 2, B N: N D=1: 3. а) Докажите, что cos ∠ B A D=1/5. б) Найдите площадь ромба, если M N=5.