Банк Задач
Для студентовДля учителей
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
КурсыСкидки
Статистика
Мои классы и Д/З
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
КурсыСкидки
Статистика
Мои классы и Д/З
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовСборники по вышматуМетодичкиНавыкиДВИ МГУО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для учителей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Все темы

Часть 1задания 1–13

Часть 2задания 14–20

Треугольники29Квадрат, Прямоугольник, Ромб8Параллелограмм8Трапеции13Окружности16

Задание 18 — Планиметрическая задача

Квадрат, Прямоугольник, Ромб

Задачи подтемы с ответами и разборами

Задача 1: Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC…ЕГЭ 2023 (основа)
Дан ромб ABCDABCDABCD. Прямая, перпендикулярная стороне ADADAD, пересекает его диагональ ACACAC в точке MMM, диагональ BDBDBD — в точке NNN, причем AM:MC=1:2AM:MC=1:2AM:MC=1:2, BN:ND=1:3BN:ND=1:3BN:ND=1:3.

а) Докажите, что cos⁡∠BAD=0,2\cos \angle BAD=0{,}2cos∠BAD=0,2.

б) Найдите площадь ромба, если MN=5MN=5MN=5.

Ответ:

Задача 2: Дан прямоугольник A B C D. Известно, что C D=3 A D. Точка M — середина его…ЕГЭ 2025 (пересдача)
Дан прямоугольник ABCDA B C DABCD. Известно, что CD=3ADC D=3 A DCD=3AD. Точка MMM — середина его стороны ADA DAD. На стороне CDC DCD отмечена точка NNN. Известно, что CN=2NDC N=2 N DCN=2ND. Точка KKK — середина отрезка CMC MCM.

a) Докажите, что точки B,NB, NB,N и KKK лежат на одной прямой.

б) Найдите длину KNKNKN, если известно, что AD=4AD=4AD=4.

Ответ:

Задача 3: В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки…СтатГрад 19.12.2024
В квадрате ABCDABCDABCD точки MMM и NNN — середины сторон ABABAB и BCBCBC соответственно. Отрезки CMCMCM и DNDNDN пересекаются в точке K.K.K.

а) Докажите, что ∠BKM=45∘\angle BKM = 45^\circ∠BKM=45∘.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABKABKABK, если AB=45AB = 4\sqrt{5}AB=45​.

Ответ:

Задача 4: Дан ромб ABCD. Точки P и Q — середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AP…ЕГЭ 2025 (резерв)
Дан ромб ABCDABCDABCD. Точки PPP и QQQ — середины сторон BCBCBC и CDCDCD соответственно. Прямые APAPAP и AQAQAQ пересекают диагональ BDBDBD в точках MMM и NNN соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников BMPBMPBMP и DNQDNQDNQ равна площади треугольника AMNAMNAMN.

б) Известно, что в CPMNQCPMNQCPMNQ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна 12512\sqrt{5}125​.

Ответ:

Задача 5: Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM = MN = NC…ЕГЭ 2025 (резерв)
Дан ромб ABCDABCDABCD. На диагонали ACACAC отмечены точки MMM и NNN так, что AM=MN=NCAM = MN = NCAM=MN=NC. Прямая BMBMBM пересекает сторону ADADAD в точке PPP, а прямая BNBNBN пересекает сторону CDCDCD в точке QQQ.

а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQBPDQBPDQ равна площади треугольника ADCADCADC.

б) Найдите BDBDBD, если известно, что AC=23AC = 2\sqrt{3}AC=23​ и около пятиугольника MNQDPMNQDPMNQDP можно описать окружность.

Ответ:

Задача 6: Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в…ФИПИ
Прямая, перпендикулярная стороне BCBCBC ромба ABCDABCDABCD, пересекает его диагональ ACACAC в точке MMM, а диагональ BDBDBD в точке NNN, причём AM:MC=1:2AM : MC = 1 : 2AM:MC=1:2, BN:ND=1:3BN : ND = 1 : 3BN:ND=1:3.

a) Докажите, что прямая MNMNMN делит сторону ромба BCBCBC в отношении 1:41 : 41:4.

б) Найдите сторону ромба, если MN=6MN = \sqrt{6}MN=6​.

Ответ:

Задача 7: В квадрате A B C D точки M и N — середины сторон A B и B C соответственно…ФИПИ
В квадрате ABCDA B C DABCD точки MMM и NNN — середины сторон ABA BAB и BCB CBC соответственно. Отрезки CMC MCM и DND NDN пересекаются в точке KKK.

а) Докажите, что ∠BKM=45∘\angle B K M=45^{\circ}∠BKM=45∘.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABKA B KABK, если сторона AB=210A B=2 \sqrt{10}AB=210​.

Ответ:

Задача 8: Прямая, перпендикулярная стороне B C ромба A B C D, пересекает его диагональ A…ФИПИ
Прямая, перпендикулярная стороне BCB CBC ромба ABCDA B C DABCD, пересекает его диагональ ACA CAC в точке MMM, а диагональ BDB DBD в точке NNN, причём AM:MC=1:2,BN:ND=1:3A M: M C=1: 2, B N: N D=1: 3AM:MC=1:2,BN:ND=1:3.

а) Докажите, что cos⁡∠BAD=15\cos \angle B A D=\frac{1}{5}cos∠BAD=51​.

б) Найдите площадь ромба, если MN=5M N=5MN=5.

Ответ:

Показано 8 из 8 задач