Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM=MN=NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает сторону CD в точке Q.
а) Докажите, что площадь четырехугольника BPDQ равна площади треугольника ADC.
б) Найдите BD, если известно, что AC=23 и около пятиугольника MNQDP можно описать окружность.
Решение
а) Пусть AC∩BD=R, при этом диагонали ромба перпендикулярны, а также в точке пересечения делятся ею пополам, BD -- ось симметрии ромба.
Получаем, что R -- середина BD, значит, AR -- медиана в треугольнике ABD, а также AM=2MR. Следовательно, M -- точка пересечения медиан в △ABD, тогда BP -- медиана, а P -- середина AD. Из симметрии △BCD получаем, что BQ -- медиана.
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то:
SBPD=21SABD=SARD=41SABCD. Аналогично по другую сторону от BD получаем, что:
SBDQ=21SBCD=SCDR=41SABCD.
б) Пусть AP=PD=x. Около пятиугольника MNQDP описана окружность, тогда по свойству секущих, проведённых из точки A, получаем:
AM⋅AN=AP⋅AD.
Так как AM=MN=NC, то AM=31AC=31⋅23=323. Тогда получаем, что:
323⋅343=x⋅2x,38=2x2,x=32. Для △ARD запишем теорему Пифагора:
AR2+RD2=AD2,RD=AD2−AR2=4x2−4AC2=316−3=37=321. Следовательно, BD=2RD=3221. Ответ: 3221.
