Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГЭ 2025 (пересдача)

Дан прямоугольник

A B C D

. Известно, что

C D=3 A D

. Точка

M

— середина его стороны

A D

. На стороне

C D

отмечена точка

N

. Известно, что

C N=2 N D

. Точка

K

— середина отрезка

C M

.

a) Докажите, что точки

B, N

K

лежат на одной прямой.

б) Найдите длину

KN

, если известно, что

AD=4

Решение

а) Пусть

AD=2x

, тогда

CD=3\cdot 2x=6x

. Так как

M

— середина

AD

, то

AM=MD=x

.
По условию

CN=2ND

, поэтому

CN=\dfrac{2}{3}CD=\dfrac{2}{3}\cdot 6x=4x

, а

ND=6x-4x=2x

.
Пусть

AD\cap KN=T

. Тогда для

\triangle CMD

и секущей

KN

запишем теорему Менелая:

\dfrac{MK}{KC}\cdot \dfrac{CN}{ND}\cdot \dfrac{DT}{TM}=1, \quad 1\cdot \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{DT}{TM}=1, \quad \dfrac{DT}{TM}=\dfrac{1}{2}, \quad TM=2DT.

Тогда получаем, что

DT=MD=x

. Пусть

TK\cap BC=B'

, тогда

\triangle B'CK = \triangle MKT

(

CK=KM

— по условию,

\angle B'KC=\angle MKT

— как вертикальные,

\angle B'CK=\angle KMT

— как накрест лежащие при

BC \parallel AD

и секущей

CM

).

Из полученного равенства треугольников следует, что

MT=CB'

, но

MT=BC=2x

— по свойству прямоугольника, значит,

B=B'

.

Таким образом, точки

B

N

K

лежат на одной прямой, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Так как

AD=2x=4

, то

x=2

, тогда

BC=AD=4

AB=CD=6x=6\cdot 2=12.

\triangle BAT

по теореме Пифагора:

BT^2=AB^2 + AT^2, \quad BT=\sqrt{AB^2 + AT^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}.

Из пункта а) имеем, что

BK=KT=\dfrac{1}{2}BT=\dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{5}=3\sqrt{5}.

\triangle BCN\sim \triangle TDN

, так как

\angle BNC=\angle DNT

— вертикальные, а

\angle BCN=\angle NDT=90^{\circ}

$Изображение 2$

Тогда

\dfrac{DT}{BC}=\dfrac{NT}{BN}=\dfrac{ND}{CN}=\dfrac{2x}{4x}=\dfrac{1}{2}, \quad NT=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{1}{3}BT=\dfrac{1}{3}\cdot 6\sqrt{5}=2\sqrt{5}.

Следовательно,

KN=KT-NT=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}

.
Ответ:

\sqrt{5}

Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи