Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD=3AD. Точка M --- середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN=2ND. Точка K --- середина отрезка CM.
a) Докажите, что точки B,N и K лежат на одной прямой.
б) Найдите длину KN, если известно, что AD=4.
Решение
а) Пусть AD=2x, тогда CD=3⋅2x=6x. Так как M -- середина AD, то AM=MD=x. По условию CN=2ND, поэтому CN=32CD=32⋅6x=4x, а ND=6x−4x=2x. Пусть AD∩KN=T. Тогда для △CMD и секущей KN запишем теорему Менелая:
KCMK⋅NDCN⋅TMDT=1,1⋅12⋅TMDT=1,TMDT=21,TM=2DT. Тогда получаем, что DT=MD=x. Пусть TK∩BC=B′, тогда △B′CK=△MKT (CK=KM -- по условию, ∠B′KC=∠MKT -- как вертикальные, ∠B′CK=∠KMT -- как накрест лежащие при BC∥AD и секущей CM).
Из полученного равенства треугольников следует, что MT=CB′, но MT=BC=2x -- по свойству прямоугольника, значит, B=B′.
Таким образом, точки B,N и K лежат на одной прямой, ч.т.д.
б) Так как AD=2x=4, то x=2, тогда BC=AD=4 и AB=CD=6x=6⋅2=12. В △BAT по теореме Пифагора:
BT2=AB2+AT2,BT=AB2+AT2=122+62=65. Из пункта а) имеем, что BK=KT=21BT=21⋅65=35. △BCN∼△TDN, так как ∠BNC=∠DNT -- вертикальные, а ∠BCN=∠NDT=90∘.
Тогда
BCDT=BNNT=CNND=4x2x=21,NT=21BN=31BT=31⋅65=25. Следовательно, KN=KT−NT=35−25=5. Ответ: 5.
