В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что ∠BKM=45∘. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если AB=45.
Решение
а) Обозначим ∠NDC=α. Прямоугольные треугольники NDC и MBC равны по двум катетам: NC=MB и DC=BC. Следовательно, ∠BCM=α. Тогда ∠MCD=90∘−α, поэтому треугольник KCD -- прямоугольный с прямым углом CKD. Следовательно,
∠NKM=∠CKD=90∘, Рассмотрим четырехугольик BMKN: ∠MBN+∠NKM=90∘+90∘=180∘, из чего следует, что BMKN —- вписанный. Прямоугольный треугольник
BMN равнобедренный (BM=BN), а значит дуги BM и BN будут равны, так как равные хорды стягивают равные дуги). Поэтому ∠BKN=∠BKM как вписанные углы опирающиеся на равные дуги BM и BN, следовательно,
∠BKM=2∠MBN=45∘.
\item Пусть ∠MDA=x. Четырёхугольник AMKD также вписанный, так как
∠MAD+∠MKD=90∘+90∘=180∘. Следовательно,
∠MKA=∠MDA=x. Заметим, что
∠AKB=∠MKB+∠MKA=x+45∘. Найдём радиус окружности, описанной около треугольника ABK, по теореме синусов:
2R=sin∠AKBAB=sin(x+45∘)45. Найдем sin(x+45∘). Пусть AM=x,AD=2x. По теореме Пифагора в треугольнике ADM получаем:
MD=AM2+AD2=x2+(2x)2=x5. Из прямоугольного треугольника MAD находим sinx и cosx: sinx=x5x=51. cosx=MDAD=x52x=52.
