Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияСтатГрад 19.12.2024

В квадрате

ABCD

точки

M

N

— середины сторон

AB

BC

соответственно. Отрезки

CM

DN

пересекаются в точке

K.

а) Докажите, что

\angle BKM = 45^\circ

.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

ABK

, если

AB = 4\sqrt{5}

Решение

а) Обозначим

\angle NDC= \alpha

. Прямоугольные треугольники

NDC

MBC

равны по двум катетам:

NC=MB

DC=BC

. Следовательно,

\angle BCM= \alpha

. Тогда

\angle MCD=90^\circ - \alpha

, поэтому треугольник

KCD

— прямоугольный с прямым углом

CKD

. Следовательно,

\angle NKM= \angle CKD=90^\circ,

Рассмотрим четырехугольик

BMKN

\angle MBN + \angle NKM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ,

из чего следует, что

BMKN

— вписанный. Прямоугольный треугольник

BMN

равнобедренный (

BM=BN

), а значит дуги

BM

BN

будут равны, так как равные хорды стягивают равные дуги). Поэтому

\angle BKN = \angle BKM

как вписанные углы опирающиеся на равные дуги

BM

BN

, следовательно,

\angle BKM = \dfrac{\angle MBN}{2} = 45^\circ.

\item Пусть

\angle MDA =x

. Четырёхугольник

AMKD

также вписанный, так как

\angle MAD + \angle MKD = 90^\circ + 90^\circ =180^\circ.

Следовательно,

\angle MKA = \angle MDA = x.

Заметим, что

\angle AKB = \angle MKB + \angle MKA = x + 45^\circ .

Найдём радиус окружности, описанной около треугольника

ABK

, по теореме синусов:

2R = \dfrac{AB}{\sin \angle AKB} = \dfrac{4\sqrt{5}}{\sin (x + 45^\circ)}.

Найдем

\sin(x+45^\circ)

. Пусть

AM = x

AD = 2x

. По теореме Пифагора в треугольнике

ADM

получаем:

MD = \sqrt{AM^2+AD^2} = \sqrt{ x^2+(2x)^2} = x\sqrt{5}.

Из прямоугольного треугольника

MAD

находим

\sin x

\cos x

\sin x = \dfrac{x}{x\sqrt{5}}= \dfrac{1}{\sqrt{5}}.

\cos x = \dfrac{AD}{MD}= \dfrac{2x}{x\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.

Воспользуемся формулой синуса суммы:

\sin (x + 45^\circ) = \sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}.

Получаем:

2R = \dfrac{4\sqrt{5}}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}} = \dfrac{4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} = \dfrac{40}{3\sqrt{2}} \Rightarrow R = \dfrac{20}{3\sqrt{2}} = \dfrac{10\sqrt{2}}{3}.

Ответ:

\dfrac{10\sqrt{2}}{3}.

Похожие задачи