Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГЭ 2025 (резерв)

Дан ромб

ABCD

. Точки

P

Q

— середины сторон

BC

CD

соответственно. Прямые

AP

AQ

пересекают диагональ

BD

в точках

M

N

соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников

BMP

DNQ

равна площади треугольника

AMN

.

б) Известно, что в

CPMNQ

можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна

12\sqrt{5}

Решение

а) Пусть

AC \, \cap \, BD = R

, при этом диагонали ромба перпендикулярны, а также в точке пересечения делятся ею пополам,

BD

— ось симметрии ромба.
Так как точки

R

P

— середины сторон

AC

BC

соответственно, то

BR

AP

— медианы в треугольнике

ABC

. Следовательно,

M

— точка пересечения медиан в

\triangle ABC

.
Из симметрии

\triangle ACD

получаем, что

DR

AQ

— медианы.
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то:

S_{APC}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}=S_{BRC}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}.

Аналогично по другую сторону от

AC

получаем, что:

S_{AQC}=\dfrac{1}{2}S_{ACD}=S_{DRC}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}.

$Изображение 1$

Значит,

S_{APCQ}=S_{APC}+S_{AQC}=S_{BRC}+S_{DRC}=S_{BCD}

. Тогда получаем, что:

S_{AMN}=S_{APCQ}-S_{MPCQN}=S_{BCD}-S_{MPCQN}=S_{BMP}+S_{DNQ}, \ \text{ч.т.д.}

б) Пусть

AC=24x

BD=24y

.
Для

\triangle ABR

запишем теорему Пифагора:

AR^2+RB^2=AB^2, \quad (12x)^2+(12y)^2=(12\sqrt{5})^2, \quad x^2+y^2=5. \quad (1)

Так как четырёхугольник

BCQN

— вписанный, то суммы его противоположных сторон равны

BC+NQ = BN + QC.

Получаем, что

BC=12\sqrt{5}

CQ=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}\cdot 12\sqrt{5}=6\sqrt{5}

, а

BN=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}\cdot24y=16y

, так как по свойству медиан

BM=2MR

DN=2NR

, аналогично

NQ=\dfrac{1}{2}AN

.
Для

\triangle ARN

запишем теорему Пифагора:

AR^2+RN^2=AN^2, \quad AN=\sqrt{(12x)^2+(4y)^2}=4\sqrt{9x^2+y^2}. \quad (2)

Подставим (1) в (2):

AN=4\sqrt{9(5-y^2)+y^2}=4\sqrt{45-8y^2}.

Значит,

NQ=\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{45-8y^2}=2\sqrt{45-8y^2}

$Изображение 2$

Подставим найденные длины сторон в условие для вписанного четырёхугольника:

12\sqrt{5}+2\sqrt{45-8y^2}=16y+6\sqrt{5};

\sqrt{45-8y^2}=8y-3\sqrt{5};

\begin{cases} 8y-3\sqrt{5} \geqslant0, \\ 45-8y^2=64y^2-48y\sqrt{5}+45, \end{cases} \quad \begin{cases} y\geqslant \dfrac{3\sqrt{5}}{8}, \\ 72y^2=48y\sqrt{5} \ \big|:24y, \end{cases} \quad \begin{cases} y\geqslant \dfrac{3\sqrt{5}}{8}, \\ 3y=2\sqrt{5}, \end{cases} \quad y=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}.

Получаем, что

BR=12y=12\cdot\dfrac{2\sqrt{5}}{3}=8\sqrt{5}

.
Так как

AC

— диагональ ромба, то она ещё и биссектриса

\angle BCD

. При этом центр вписанной окружности

O\in AC

, тогда

BO

— биссектриса

\angle RBC

.
По свойству биссектрисы

BO

\dfrac{RO}{OC}=\dfrac{BR}{BC}=\dfrac{12\sqrt{5}}{8\sqrt{5}}=\dfrac{2}{3};

RO=\dfrac{2}{5}RC=\dfrac{2}{5}\cdot 12x=\dfrac{24}{5}x=\dfrac{24}{5}\sqrt{5-y^2}=\dfrac{24}{5}\sqrt{5-\dfrac{20}{9}}=\dfrac{24}{5}\cdot \dfrac{5}{3}=8.

Заметим, что перпендикуляр из точки

O

на сторону

BD

попадает в точку

R

, значит,

OR

— искомый радиус вписанной окружности.
Ответ:

8

Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи