Дан ромб ABCD. Точки P и Q -- середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AP и AQ пересекают диагональ BD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что сумма площадей треугольников BMP и DNQ равна площади треугольника AMN.
б) Известно, что в CPMNQ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна 125.
Решение
а) Пусть AC∩BD=R, при этом диагонали ромба перпендикулярны, а также в точке пересечения делятся ею пополам, BD -- ось симметрии ромба.
Так как точки R и P -- середины сторон AC и BC соответственно, то BR и AP -- медианы в треугольнике ABC. Следовательно, M -- точка пересечения медиан в △ABC. Из симметрии △ACD получаем, что DR и AQ -- медианы.
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то:
SAPC=21SABC=SBRC=41SABCD. Аналогично по другую сторону от AC получаем, что:
SAQC=21SACD=SDRC=41SABCD.
Значит, SAPCQ=SAPC+SAQC=SBRC+SDRC=SBCD. Тогда получаем, что:
SAMN=SAPCQ−SMPCQN=SBCD−SMPCQN=SBMP+SDNQ,ч.т.д.
б) Пусть AC=24x,BD=24y. Для △ABR запишем теорему Пифагора:
AR2+RB2=AB2,(12x)2+(12y)2=(125)2,x2+y2=5.(1) Так как четырёхугольник BCPN -- вписанный, то суммы его противоположных сторон равны
BC+NP=BN+PC. Получаем, что BC=125,CP=21CD=21⋅125=65, а BN=32BD=32⋅24y=16y, так как по свойству медиан BM=2MR и DN=2NR, аналогично NP=21AN. Для △ARN запишем теорему Пифагора:
AR2+RN2=AN2,AN=(12x)2+(4y)2=49x2+y2.(2) Подставим (1) в (2):
AN=49(5−y2)+y2=445−8y2. Значит, NP=21⋅445−8y2=245−8y2.
Подставим найденные длины сторон в условие для вписанного четырёхугольника:
125+245−8y2=16y+65; 45−8y2=8y−35; {8y−35⩾0,45−8y2=64y2−48y5+45,⎩⎨⎧y⩾835,72y2=48y5:24y,⎩⎨⎧y⩾835,3y=25,y=325. Получаем, что BR=12y=12⋅325=85. Так как AC -- диагональ ромба, то она ещё и биссектриса ∠BCD. При этом центр вписанной окружности O∈AC, тогда BO -- биссектриса ∠RBC. По свойству биссектрисы BO: OCRO=BCBR=85125=32; RO=52RC=52⋅12x=524x=5245−y2=5245−920=524⋅35=8. Заметим, что перпендикуляр из точки O на сторону BD попадает в точку R, значит, OR -- искомый радиус вписанной окружности.
Ответ: 8.
