Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2,BN:ND=1:3.
a) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN=6.
Решение
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Обозначим AM=2x, тогда
MC=4x,AO=OC=3x, следовательно, MO=AO−AM=x.
Пусть BN=y, тогда
ND=3y,BO=OD=2y, причём N лежит между B и O, поэтому NO=BO−BN=y.
Пусть T — точка пересечения прямой MN со стороной BC. Опустим перпендикуляр OQ на прямую BC. Так как MN⊥BC, то MN∥OQ. По обобщённой теореме Фалеса получаем:
TQBT=NOBN=yy=1; QTCQ=OMCO=x3x=3.
Обозначим BT=n. Тогда BC=BT+TQ+QC=n+n+3n=5n. Таким образом, прямая MN делит сторону BC в отношении
TCBT=4nn=41.
б) Опустим перпендикуляр DH на прямую BC. Из обобщённой теоремы Фалеса получаем, что QH=2n и HC=n.
Пусть K — точка пересечения прямой MN со стороной AD. Тогда KTHD — прямоугольник и поэтому KD=TH=3n,AK=AD−KD=5n−3n=2n.
Прямоугольные треугольники AKM и CMT подобны, так как углы AMK и TMC равны, как вертикальные. Коэффициент подобия равен MCAM=21, следовательно, MTKM=21. \par\medskip
Аналогично, треугольники NKD и NTB подобны с коэффициентом подобия NBND=3, следовательно, NTKN=3. \par\medskip
Пусть KT=12a. Тогда получаем:
MT=32KT=8a,NT=41KT=3a. Значит, MN=MT−NT=8a−3a=5a, то есть a=5MN=56 и KT=DH=5126.
В прямоугольном треугольнике DHC получаем:
HC=n,DH=5126,DC=5n. Воспользуемся теоремой Пифагора:
(5n)2=n2+(5126)2⇒25n2=n2+25144⋅6⇒24n2=25864⇒ ⇒n2=2536⇒n=56. Сторона ромба равна BC=5n=5⋅56=6.
