Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

Прямая, перпендикулярная стороне

BC

ромба

ABCD

, пересекает его диагональ

AC

в точке

M

, а диагональ

BD

в точке

N

, причём

AM : MC = 1 : 2

BN : ND = 1 : 3

.

a) Докажите, что прямая

MN

делит сторону ромба

BC

в отношении

1 : 4

.

б) Найдите сторону ромба, если

MN = \sqrt{6}

Решение

а) Пусть

O

— точка пересечения диагоналей ромба. Обозначим

AM = 2x

, тогда

MC = 4x,\;AO = OC = 3x,

следовательно,

MO = AO - AM = x

.

Пусть

BN = y

, тогда

ND = 3y,\; BO = OD = 2y,

причём

N

лежит между

B

O

, поэтому

NO = BO - BN = y

.

Пусть

T

— точка пересечения прямой

MN

со стороной

BC

. Опустим перпендикуляр

OQ

на прямую

BC

. Так как

MN \perp BC

, то

MN \parallel OQ

. По обобщённой теореме Фалеса получаем:

\dfrac{BT}{TQ} = \dfrac{BN}{NO} = \dfrac{y}{y} = 1;

\dfrac{CQ}{QT} = \dfrac{CO}{OM} = \dfrac{3x}{x} = 3.

$Изображение 1$

Обозначим

BT = n

. Тогда

BC = BT + TQ + QC = n + n + 3n = 5n

. Таким образом, прямая

MN

делит сторону

BC

в отношении

\dfrac{BT}{TC} = \dfrac{n}{4n} = \dfrac{1}{4}.

б) Опустим перпендикуляр

DH

на прямую

BC

. Из обобщённой теоремы Фалеса получаем, что

QH = 2n

HC = n

.

Пусть

K

— точка пересечения прямой

MN

со стороной

AD

. Тогда

KTHD

— прямоугольник и поэтому

KD = TH = 3n

AK = AD - KD = 5n - 3n = 2n

.

Прямоугольные треугольники

AKM

CMT

подобны, так как углы

AMK

TMC

равны, как вертикальные. Коэффициент подобия равен

\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{1}{2}

, следовательно,

\dfrac{KM}{MT} = \dfrac{1}{2}

.
\par\medskip
Аналогично, треугольники

NKD

NTB

подобны с коэффициентом подобия

\dfrac{ND}{NB} = 3

, следовательно,

\dfrac{KN}{NT} = 3

.
\par\medskip
Пусть

KT = 12a

. Тогда получаем:

MT = \frac{2}{3} KT = 8a,\quad NT = \frac{1}{4} KT = 3a.

Значит,

MN = MT - NT = 8a - 3a = 5a

, то есть

a = \dfrac{MN}{5} = \dfrac{\sqrt{6}}{5}

KT = DH = \dfrac{12\sqrt{6}}{5}

$Изображение 2$

В прямоугольном треугольнике

DHC

получаем:

HC = n, \quad DH = \dfrac{12\sqrt{6}}{5}, \quad DC = 5n.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

(5n)^2 = n^2 + \left( \dfrac{12\sqrt{6}}{5} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad 25n^2 = n^2 + \dfrac{144 \cdot 6}{25} \quad \Rightarrow \quad 24n^2 = \dfrac{864}{25} \quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad n^2 = \dfrac{36}{25} \quad \Rightarrow \quad n = \dfrac{6}{5}.

Сторона ромба равна

BC = 5n = 5 \cdot \dfrac{6}{5} = 6

.

Ответ:

6

Квадрат, Прямоугольник, Ромб — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи