Постройте график функции \[ y=\dfrac{x -… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=\dfrac{x - 3}{x^{2} - 3 x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Функция определена при тех значениях

x

, при которых знаменатель не обращается в нуль. Получаем:

x\neq 0

x\neq 3

.

Преобразуем выражение, сокращая общий множитель:

y=\dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки:

(3; \frac{1}{3})

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=\dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

x

-4

-2

-1

1

2

3

4

y

-0{,}25

-0{,}5

-1

1

0{,}5

\frac{1}{3}

0{,}25

График функции:

Прямая

y=kx

проходит через начало координат. Чтобы из-за выколотой точки осталась ровно одна общая точка, эта прямая должна проходить через точку

(3; \frac{1}{3})

\frac{1}{3}=k\cdot 3;

k=\frac{1}{9}.

Следовательно,

k \in \{\frac{1}{9}\}

.

График для анализа значений параметра: