Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

\sqrt{3}\tg^2 x - 4 \tg x + \sqrt{3} = 0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]

Решение

а) Сделаем замену

t = \tg x

\sqrt{3} t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{4^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2;

t_{1, 2} = \frac{4 \pm 2}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 1}{\sqrt{3}}

Получаем:

t_1 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}, \quad t_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{array}{l} \tg x = \sqrt{3},\\[3mm] \tg x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\\[3mm] x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{7\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{13\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{3}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\, \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{13\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{3}

Тригонометрия, сводящаяся к квадратному уравнению — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи