Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваФИПИЕГЭ 2023 (основа)

Решите неравенство

\dfrac{\log_2 x^2-\log_3 x^2}{\log_6^2(2x^2-10x+12{,}5)+1}\leqslant 0.

Решение

Заметим, что знаменатель дроби всегда положителен, когда выражение определено:

\log_6^2(2x^2-10x+12{,}5)+1>0.

Найдем ОДЗ. Нужно, чтобы были определены все логарифмы:

\begin{cases}2x^2-10x+12{,}5>0,\\x^2>0.\end{cases}

Первое неравенство дает:

4x^2-20x+25>0,

(2x-5)^2>0,

x\neq \dfrac52.

Второе неравенство дает:

x^2>0,

x\neq 0.

Значит,

x\neq 0,\qquad x\neq \dfrac52.

Так как знаменатель положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Поэтому нужно решить неравенство

\log_2 x^2-\log_3 x^2\leqslant 0.

Перейдем во втором логарифме к основанию

2

\log_3 x^2=\dfrac{\log_2 x^2}{\log_2 3}.

Тогда

\log_2 x^2-\dfrac{\log_2 x^2}{\log_2 3}\leqslant 0.

Вынесем

\log_2 x^2

за скобку:

\log_2 x^2\left(1-\dfrac{1}{\log_2 3}\right)\leqslant 0.

Так как

\log_2 3>1

, то

1-\dfrac{1}{\log_2 3}>0.

Значит, знак произведения определяется только множителем

\log_2 x^2

, поэтому

\log_2 x^2\leqslant 0.

Так как основание

2>1

, получаем

x^2\leqslant 1.

Отсюда

-1\leqslant x\leqslant 1.

С учетом ОДЗ получаем:

x\in[-1;0)\cup(0;1].

Ответ:

[-1;0)\cup(0;1]

Похожие задачи