Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2023
Скопировать ссылку
02abf909
Решите неравенство
log
2
x
2
−
log
3
x
2
log
6
2
(
2
x
2
−
10
x
+
12,5
)
+
1
⩽
0.
\dfrac{\log_2 x^2-\log_3 x^2}{\log_6^2(2x^2-10x+12{,}5)+1}\leqslant 0.
lo
g
6
2
(
2
x
2
−
10
x
+
12
,
5
)
+
1
lo
g
2
x
2
−
lo
g
3
x
2
⩽
0.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Заметим, что знаменатель дроби всегда положителен, когда выражение определено:
log
6
2
(
2
x
2
−
10
x
+
12,5
)
+
1
>
0.
\log_6^2(2x^2-10x+12{,}5)+1>0.
lo
g
6
2
(
2
x
2
−
10
x
+
12
,
5
)
+
1
>
0.
Найдем ОДЗ. Нужно, чтобы были определены все логарифмы:
{
2
x
2
−
10
x
+
12,5
>
0
,
x
2
>
0.
\begin{cases}
2x^2-10x+12{,}5>0,\\
x^2>0.
\end{cases}
{
2
x
2
−
10
x
+
12
,
5
>
0
,
x
2
>
0.
Первое неравенство дает:
4
x
2
−
20
x
+
25
>
0
,
4x^2-20x+25>0,
4
x
2
−
20
x
+
25
>
0
,
(
2
x
−
5
)
2
>
0
,
(2x-5)^2>0,
(
2
x
−
5
)
2
>
0
,
x
≠
5
2
.
x\neq \dfrac52.
x
=
2
5
.
Второе неравенство дает:
x
2
>
0
,
x^2>0,
x
2
>
0
,
x
≠
0.
x\neq 0.
x
=
0.
Значит,
x
≠
0
,
x
≠
5
2
.
x\neq 0,\qquad x\neq \dfrac52.
x
=
0
,
x
=
2
5
.
Так как знаменатель положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Поэтому нужно решить неравенство
log
2
x
2
−
log
3
x
2
⩽
0.
\log_2 x^2-\log_3 x^2\leqslant 0.
lo
g
2
x
2
−
lo
g
3
x
2
⩽
0.
Перейдем во втором логарифме к основанию
2
2
2
:
log
3
x
2
=
log
2
x
2
log
2
3
.
\log_3 x^2=\dfrac{\log_2 x^2}{\log_2 3}.
lo
g
3
x
2
=
lo
g
2
3
lo
g
2
x
2
.
Тогда
log
2
x
2
−
log
2
x
2
log
2
3
⩽
0.
\log_2 x^2-\dfrac{\log_2 x^2}{\log_2 3}\leqslant 0.
lo
g
2
x
2
−
lo
g
2
3
lo
g
2
x
2
⩽
0.
Вынесем
log
2
x
2
\log_2 x^2
lo
g
2
x
2
за скобку:
log
2
x
2
(
1
−
1
log
2
3
)
⩽
0.
\log_2 x^2\left(1-\dfrac{1}{\log_2 3}\right)\leqslant 0.
lo
g
2
x
2
(
1
−
lo
g
2
3
1
)
⩽
0.
Так как
log
2
3
>
1
\log_2 3>1
lo
g
2
3
>
1
,
то
1
−
1
log
2
3
>
0.
1-\dfrac{1}{\log_2 3}>0.
1
−
lo
g
2
3
1
>
0.
Значит, знак произведения определяется только множителем
log
2
x
2
\log_2 x^2
lo
g
2
x
2
,
поэтому
log
2
x
2
⩽
0.
\log_2 x^2\leqslant 0.
lo
g
2
x
2
⩽
0.
Так как основание
2
>
1
2>1
2
>
1
,
получаем
x
2
⩽
1.
x^2\leqslant 1.
x
2
⩽
1.
Отсюда
−
1
⩽
x
⩽
1.
-1\leqslant x\leqslant 1.
−
1
⩽
x
⩽
1.
С учетом ОДЗ получаем:
x
∈
[
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
1
]
.
x\in[-1;0)\cup(0;1].
x
∈
[
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
1
]
.
Ответ:
[
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
1
]
[-1;0)\cup(0;1]
[
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
1
]
.
