Банк Задач
Для студентовДля учителей
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
КурсыСкидки
Статистика
Мои классы и Д/З
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
КурсыСкидки
Статистика
Мои классы и Д/З
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовСборники по вышматуМетодичкиНавыкиДВИ МГУО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для учителей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Все темы

Часть 1задания 1–13

Часть 2задания 14–20

Треугольники29Квадрат, Прямоугольник, Ромб8Параллелограмм8Трапеции13Окружности16

Задание 18 — Планиметрическая задача

Параллелограмм

Задачи подтемы с ответами и разборами

Задача 1: В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и C, пересекающие BC и AD…МЦКО
В параллелограмме ABCDABCDABCD проведены биссектрисы углов AAA и CCC, пересекающие BCBCBC и ADADAD в точках KKK и MMM соответственно. AKAKAK пересекает BDBDBD в точке PPP, CMCMCM пересекает BDBDBD в точке FFF. Известно, что PF=1PF = 1PF=1, BC=5BC = 5BC=5, AB=3AB = 3AB=3.

а) Докажите, что треугольник ABDABDABD прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника KPFCKPFCKPFC.

Ответ:

Задача 2: Вершины A, B и C параллелограмма ABCD лежат на окружности, вершина D не лежит…ЕГЭ 2026 (Основная волна)
Вершины A,BA, BA,B и CCC параллелограмма ABCDABCDABCD лежат на окружности, вершина DDD не лежит на этой окружности. Её хорды BKBKBK и BMBMBM перпендикулярны прямым ADADAD и CDCDCD соответственно.

а) Докажите, что четырёхугольник ACMKACMKACMK – прямоугольник.

б) Найдите площадь четырёхугольника ACMKACMKACMK, если радиус окружности равен 222, а ∠BAD=75∘\angle BAD = 75^\circ∠BAD=75∘.

Ответ:

Задача 3: В параллелограмме ABCD со сторонами AD = 12, AB = 4 и углом A, равным 30^∘…ЕГКР 14.12.2023
В параллелограмме ABCDABCDABCD со сторонами AD=12AD = 12AD=12, AB=4AB = 4AB=4 и углом AAA, равным 30∘30^{\circ}30∘, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, —прямоугольник.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.

Ответ:

Задача 4: Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD…СтатГрад 23.04.2025
Точки KKK и MMM — середины сторон ABABAB и BCBCBC соответственно параллелограмма ABCDABCDABCD. Отрезки AMAMAM и CKCKCK пересекаются в точке PPP.

а) Докажите, что точка PPP принадлежит диагонали BDBDBD.

б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что AB=17AB = 17AB=17, BP=4BP = 4BP=4 и BC=25BC = 25BC=25.

Ответ:

Задача 5: В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC…ЕГЭ 2026 (досрок)
В параллелограмме ABCDABCDABCD угол BACBACBAC вдвое больше угла CADCADCAD. Биссектриса угла BACBACBAC пересекает отрезок BCBCBC в точке LLL. На продолжении стороны CDCDCD за точку DDD выбрана такая точка EEE, что AE=CEAE = CEAE=CE.

a) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅ACAL \cdot BC = AB \cdot ACAL⋅BC=AB⋅AC.

б) Найдите ELELEL, если AC=21AC = 21AC=21, tg⁡∠BCA=0,4\tg \angle BCA = 0{,}4tg∠BCA=0,4.

Ответ:

Задача 6: На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что AM=MC. а)…СтатГрад 03.10.2023
На стороне BCBCBC параллелограмма ABCDABCDABCD выбрана такая точка MMM, что
AM=MCAM=MCAM=MC.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMDAMDAMD окружности лежит
на диагонали ACACAC.

б)Найдите радиус вписанной в треугольник AMDAMDAMD окружности, если
AB=6AB=6AB=6, BC=24BC=24BC=24, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘.

Ответ:

Задача 7: В параллелограмме A B C D угол B A C вдвое больше угла C A D. Биссектриса угла…ФИПИ
В параллелограмме ABCDA B C DABCD угол BACB A CBAC вдвое больше угла CADC A DCAD. Биссектриса угла BACB A CBAC пересекает отрезок BCB CBC в точке LLL. На продолжении стороны CDC DCD за точку DDD выбрана такая точка EEE, что AE=CEA E=C EAE=CE.

а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅ACA L \cdot B C=A B \cdot A CAL⋅BC=AB⋅AC.

б) Найдите ELE LEL, если AC=8,tg⁡∠BCA=12A C=8, \operatorname{tg} \angle B C A=\dfrac{1}{2}AC=8,tg∠BCA=21​.

Ответ:

Задача 8: На стороне B C параллелограмма A B C D выбрана точка M такая, что A M=M C. a)…ФИПИ
На стороне BCB CBC параллелограмма ABCDA B C DABCD выбрана точка MMM такая, что AM=MCA M=M CAM=MC.

a) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMDA M DAMD окружности лежит на диагонали ACA CAC.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMDA M DAMD окружности, если AB=5,BC=10,∠BAD=60∘A B=5, B C=10, \angle BAD=60^{\circ}AB=5,BC=10,∠BAD=60∘.

Ответ:

Показано 8 из 8 задач