Параллелограмм

В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и C, пересекающие BC и AD в точках K и M соответственно. AK пересекает BD в точке P, CM пересекает BD в точке F. Известно, что PF = 1, BC = 5, AB = 3. а) Докажите, что треугольник ABD прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника KPFC.

Вершины A, B и C параллелограмма ABCD лежат на окружности, вершина D не лежит на этой окружности. Её хорды BK и BM перпендикулярны прямым AD и CD соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник ACMK – прямоугольник. б) Найдите площадь четырёхугольника ACMK, если радиус окружности равен 2, а ∠ BAD = 75^∘.

В параллелограмме ABCD со сторонами AD = 12, AB = 4 и углом A, равным 30^∘, проведены биссектрисы всех четырёх углов. а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, – прямоугольник. б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.

Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P. а) Докажите, что точка P принадлежит диагонали BD. б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что AB = 17, BP = 4 и BC = 25.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE. a) Докажите, что AL · BC = AB · AC. б) Найдите EL, если AC = 21, tg∠ BCA = 0,4.

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б)Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=6, BC=24, ∠ BAD=60^∘.

В параллелограмме A B C D угол B A C вдвое больше угла C A D. Биссектриса угла B A C пересекает отрезок B C в точке L. На продолжении стороны C D за точку D выбрана такая точка E, что A E=C E. а) Докажите, что A L · B C=A B · A C. б) Найдите E L, если A C=8, tg ∠ B C A=1/2.

На стороне B C параллелограмма A B C D выбрана точка M такая, что A M=M C. a) Докажите, что центр вписанной в треугольник A M D окружности лежит на диагонали A C. б) Найдите радиус вписанной в треугольник A M D окружности, если A B=5, B C=10, ∠ BAD=60°.