Планиметрия: В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаМЦКО

В параллелограмме

ABCD

проведены биссектрисы углов

A

C

, пересекающие

BC

AD

в точках

K

M

соответственно.

AK

пересекает

BD

в точке

P

CM

пересекает

BD

в точке

F

. Известно, что

PF = 1

BC = 5

AB = 3

.

а) Докажите, что треугольник

ABD

прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника

KPFC

Решение

а) Углы

AKB

KAD

равны, как накрест лежащие при параллельных прямых

BC

AD

и секущей

AK

, значит, треугольник

BAK

-- равнобедренный и

AB = BK = 3

.

Углы

CMD

BCM

равны, как накрест лежащие при параллельных прямых

BC

AD

и секущей

CM

, значит, треугольник

CDM

-- равнобедренный и

CD = DM = 3

.

Треугольники

BPK

DPA

подобны по двум углам (

\angle{BPK} = \angle{APD}

\angle{BKP} = \angle{PAD}

), значит,

\dfrac{BK}{AD} = \dfrac{BP}{PD} = \dfrac{3}{5},

то есть

\dfrac{BP}{BD} = \dfrac{3}{8}.

Треугольники

MFD

BPK

равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (

BK = MD

\angle{BKP} = \angle{FMD}

\angle{KBP} = \angle{FDM}

, как накрест лежащие при параллельных прямых

BC

AD

и секущей

BD

), значит,

FD = BP = \dfrac{3}{8}BD.

Получаем:

PF = BD - BP - FD = BD - 2\cdot \dfrac{3}{8}BD = \dfrac{1}{4}BD,

BD = 4PF = 4\cdot 1 = 4.

Заметим, что

AB^2 + BD^2 = AD^2\;(3^2 + 4^2 = 5^2),

значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник

ABD

-- прямоугольный.

Рисунок 1 к решению задачи №18: Параллелограмм

б) Треугольники

ABD

BDC

равны по трём сторонам (

BD

-- общая,

AB = CD

AD = BC

), значит,

\angle{BDC} = 90^{\circ}

. Имеем:

S_{KPFC} = S_{BDC} - S_{BPK} - S_{DFC}.

Треугольники

BDC

BPK

имеют общий угол

B

, значит,

\dfrac{S_{BPK}}{S_{BCD}} = \dfrac{BP\cdot BK}{BD\cdot BC} = \dfrac{3\cdot 1,5}{4\cdot 5} = \dfrac{9}{40},\quad\Rightarrow\quad S_{BPK} = \dfrac{9}{40}S_{BCD}.

Треугольники

DFC

BDC

имеют общую высоту

CD

, значит,

\dfrac{S_{DFC}}{S_{BDC}} = \dfrac{1,5}{4} = \dfrac{3}{8},\quad\Rightarrow\quad S_{DFC} = \dfrac{3}{8}S_{BDC}.

Получаем:

S_{KPFC} = 6 - \dfrac{9}{40}\cdot 6 - \dfrac{3}{8}\cdot 6 = 6 - 1,35 - 2,25 = 2,4.

Ответ:

2,4

Планиметрия: В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы... — задача

Похожие задачи