Задание 9 — Производная и первообразная

Значение производной

Задачи подтемы с ответами и разборами

MathЕГЭ

На рисунке изображён график некоторой функции

y=f(x)

. Функция

F(x)=x^3+30x^2+302x-\dfrac{15}{8}

— одна из первообразных функции

f(x)

. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Рисунок 0 к условию задачи №9: Значение производной

Ответ:

Задача 2

MathЕГЭ

На рисунке изображён график некоторой функции

y=f(x)

. Функция

F(x)=-x^3-27x^2-240x-8

— одна из первообразных функции

f(x)

. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ:

Задача 3

MathЕГЭ

На рисунке изображён график функции

y=f(x)

(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите

F(8)-F(2)

, где

F(x)

— одна из первообразных функции

f(x)

Ответ:

Задача 4

MathЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t)=\dfrac{1}{3}t^3-3t^2-5t+3,

где

x

— расстояние от точки отсчёта в метрах,

t

— время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна

2

м/с?

Ответ:

Задача 5

MathЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t)=t^2-13t+23,

где

x

— расстояние от точки отсчёта в метрах,

t

— время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна

3

м/с?

Ответ:

Задача 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$ x(t)=-t^4+6t^3+5t+23, $$ где $x$ --- расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ --- время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=3$ с.

Задача 7

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$ x(t)=\dfrac{1}{2}t^3-3t^2+2t, $$ где $x$ --- расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ --- время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=6$ с.

Задача 8

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$ x(t)=6t^2-48t+17, $$ где $x$ --- расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ --- время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=9$ с.

Задача 9

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 16t^3 - 2t^2 + 6t + 25, где x – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?

Задача 10

На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Задача 11

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Задача 12

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Задача 13

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;10). Найдите количество решений уравнения f'(x)=0 на отрезке [4;8].

Задача 14

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-3; 8). В какой точке отрезка [-2; 3 ] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Задача 15

Прямая y = -5x + 14 является касательной к графику функции y = x^3 + 3x^2 - 2x + 15. Найдите абсциссу точки касания.

Задача 16

На рисунке изображен график y= f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-4;8). Найдите абсциссу точки графика функции y= f(x), в которой касательная к графику функции параллельна прямой y=x-2 или совпадает с ней.

Задача 17

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) обращается в ноль.

Задача 18

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-3; 11). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [4; 9].

Задача 19

На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -x - 20 или совпадает с ней.

Задача 20

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-1;13). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [3;11].

Задача 21

На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x_0.

Задача 22

На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x_0.

Задача 23

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Задача 24

Задача 25

На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Задача 26

На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Задача 27

Задача 28

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-2;12). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Задача 29

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-1;12). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.

Задача 30

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Задача 31

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-3;8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Задача 32

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f(x) отрицательна.

Задача 33

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено шесть точек: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f(x) положительна.

Задача 34

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.