Теория чисел: В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2026 (пересдача)

В ящике лежат

65

овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна

1000

~г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше

1000

г, равна

982

г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше

1000

г, равна

1024

г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше

1000

г и овощей массой больше

1000

г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно

13

овощей, масса каждого из которых равна

1000

г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение

По условию масса всех овощей составляет 65\ 000 г, тогда справедливо равенство:

982x + 1024y + 1000(65-x-y) = 65\ 000. \quad (*)

а) Если

x = y

, то уравнение (*) принимает вид:

982x + 1024x + 1000(65-x-x) = 65\ 000, \quad 2006 x - 65\ 000 - 2000x = 65\ 000, \quad x = 0.

Получили противоречие.

б) Получаем, что

65 - x - y = 13

, тогда справедлива система уравнений:

\begin{cases} 982x + 1024y + 1000 (65-x-y) = 65\ 000, \\ 65 - x - y = 13; \end{cases} \quad \begin{cases} 982x + 1024y + 13\ 000 = 65\ 000, \\ x + y = 52; \ | \cdot 1000 \end{cases}

\begin{cases} 982x + 1024y = 1000x + 1000y, \\ x + y = 52; \end{cases} \ \begin{cases} 24y = 18x, \\ x + y = 52; \end{cases} \ \begin{cases} y = \dfrac{3}{4}x, \\ x + y = 52; \end{cases} \ \begin{cases} y = \dfrac{3}{4}x, \\ \dfrac{7}{4}x = 52; \end{cases} \ x \not \in \mathbb{N}.

Получили противоречие.
в) Из равенства (*) получаем, что

24y - 18x = 0, \quad y = \dfrac{3}{4}x

.

Для того, чтобы овощ имел наименьшую массу, нужно сделать остальные овощи, масса которых менее 1000 г, максимально возможной, то есть, равной 999 г.

Пусть

y = 3t

x = 4t

, тогда

x + y = 7t

. Заметим, что наибольшее значение этого выражения -- это 63, оно будет достигаться при

t = 9

. Тогда

x = 36

y = 27

, а

65 - (x+y) = 2

.
Наименьшая масса самого лёгкого овоща составляет

982 \cdot 36 - 999 \cdot 35 = 387 \ \text{г.}

Например:
1 овощ массой 387 г, 35 овощей по 999 г, 2 овоща по 1000 г и 27 овощей по 1024 г.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 387.

Теория чисел: В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из... — задача

Похожие задачи