Теория чисел: В группе поровну юношей и девушек. Юноши... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2025 (досрок)

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или

4

письма, или

21

письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно

7

писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?

Решение

а) Да, если

14

юношей отправили по

4

письма и трое юношей отправили по

21

письму.

б) Пусть в группе было

n

юношей, из которых

x

отправили по письму и

n - x

отправили по

7

писем. Тогда в группе было

n

девушек и каждая из них получила

k

писем. Получаем уравнение:

kn = 21x + 4(n - x);\\ (k - 4)n = 17x.

Так как левая часть кратна

17

, то либо

n

кратно

17

, либо

(k - 4)

кратно

17

. Если

k - 4

кратно

17

, то

k

кратно

21

, значит,

k_{\min} = 21

. Но такое невозможно, так как есть юноши, которые отправили

4

письма. Тогда

n

кратно

17

, значит,

n_{\min} = 17

.

в) Минимальное число писем, полученное всеми девушками, равно

0 + 1 + 2 + \ldots + (n - 1) = \dfrac{n(n - 1)}{2}.

Максимальное количество отправленных юношами писем равно

21(n - 2) + 2\cdot 4 = 21n - 34.

Тогда справедливо неравенство

21n - 34 \geqslant \dfrac{n(n - 1)}{2}

42n - 68 \geqslant n^2 - n;\\ n^2 - 43n + 68 \leqslant 0;\\ D = 43^2 - 4\cdot 68 = 1849 - 272 = 1577;\\ n_1 = \dfrac{43 + \sqrt{1577}}{2};\quad n_2 = \dfrac{43 - \sqrt{1577}}{2}.

Рисунок 0 к решению задачи №20: Задачи с сюжетом

Оценим выражение

\dfrac{43 + \sqrt{1577}}{2}

\dfrac{43 + \sqrt{1577}}{2} < \dfrac{43 + \sqrt{1600}}{2} = \dfrac{43 + 40}{2} = 41\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad n_{\max} = 41.

Пример:

39

юношей отправили

21

письмо,

2

юноши отправили

4

письма,

40

девушек получили

0, 1, 2, \ldots, 39

писем,

41

-ая получила

47

писем.

Ответ: а) да; б) 17; в)

41

Теория чисел: В группе поровну юношей и девушек. Юноши... — задача

Похожие задачи