Задание 20 — Числа и их свойства
Задачи с сюжетом
Задачи подтемы с ответами и разборами
Задача 1ЕГЭ 2026 (Основная волна)
Имеется монет, среди которых монет достоинством рубля и монет достоинством рублей ( — натуральное число, ). Известно, что сумма любых монет, взятых случайным образом, должна превышать четверть от общей суммы всех монет.
а) Возможно ли, что ?
б) Возможно ли, что ?
в) Сколько различных значений может принимать ?
а) Возможно ли, что ?
б) Возможно ли, что ?
в) Сколько различных значений может принимать ?
Ответ:
Задача 2ЕГЭ 2026 (пересдача)
В ящике лежат овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна ~г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше г, равна г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше г, равна г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше г и овощей массой больше г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно овощей, масса каждого из которых равна г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше г и овощей массой больше г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно овощей, масса каждого из которых равна г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Ответ:
Задача 3ЕГЭ 2023 (основа)
В классе больше , но не больше человек, доля девочек не более .
а) Может ли в классе быть девочек?
б) Может ли в классе быть девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка?
а) Может ли в классе быть девочек?
б) Может ли в классе быть девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка?
Ответ:
Задача 4ЕГКР 14.12.2023
В кошельке у Коли было монет достоинством или рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли покупками быть альбом за рублей и кисточка за рублей, если ?
б) Могли ли покупками быть тетрадь за рублей, линейка за рублей и карандаш за рублей, если ?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за рублей, а ?
а) Могли ли покупками быть альбом за рублей и кисточка за рублей, если ?
б) Могли ли покупками быть тетрадь за рублей, линейка за рублей и карандаш за рублей, если ?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за рублей, а ?
Ответ:
Задача 5ЕГКР 10.12.2024
На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на больше, чем его ширина.
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной ?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной ?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной ?
б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной ?
в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?
Ответ:
Задача 6СтатГрад 13.12.2023
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся камня, во второй — , в третьей — , а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться камней, во второй--- ,
в третьей--- , а в четвёртой--- ?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться камней, во второй--- ,
в третьей--- , а в четвёртой--- ?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Ответ:
Задача 7ЕГЭ 2025 (досрок)
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или письма, или письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?
Ответ:
Задача 8ЕГКР 07.04.2026
Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных
натуральных чисел от до включительно и находит их произведение
(если выбрано только одно число, то произведением считается само это
число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу
и находит произведение полученных чисел.
a) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины?
б) Может ли результат у Юры оказаться в пять раз больше, чем у Полины?
в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?
натуральных чисел от до включительно и находит их произведение
(если выбрано только одно число, то произведением считается само это
число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу
и находит произведение полученных чисел.
a) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины?
б) Может ли результат у Юры оказаться в пять раз больше, чем у Полины?
в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?
Ответ:
Задача 9ФИПИ
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше . При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше ?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше , а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше ?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна . Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
а) Может ли n быть больше ?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше , а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше ?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна . Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Ответ:
Задача 10ФИПИ
В школах № и № учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере учащихся, а суммарно тест писали учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № в школу №, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № уменьшиться в раз?
б) Средний балл в школе № уменьшился на %, средний балл в школе № также уменьшился на %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № равняться ?
в) Средний балл в школе № уменьшился на %, средний балл в школе № также уменьшился на %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №.
а) Мог ли средний балл в школе № уменьшиться в раз?
б) Средний балл в школе № уменьшился на %, средний балл в школе № также уменьшился на %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № равняться ?
в) Средний балл в школе № уменьшился на %, средний балл в школе № также уменьшился на %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №.
Ответ:
Показано 10 из 10 задач