Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй — 94, в третьей — 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй— 94, в третьей— 95, а в четвёртой— 4? б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?

Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных натуральных чисел от 25 до 75 включительно и находит их произведение (если выбрано только одно число, то произведением считается само это число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу и находит произведение полученных чисел. a) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины? б) Может ли результат у Юры оказаться в пять раз больше, чем у Полины? в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй - 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй - 89, а в третьей - 15 ? б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз? б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7? в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.